1. 欧几里德算法
欧几里德算法又称辗转相除法, 用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
定理: gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明:
a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数, 则有 d|a,d|b,而r = a - kb,因此d|r。
因此,d是(b,a mod b)的公约数。
加上d是(b,a mod b)的公约数,则d|b,d|r,但是a = kb + r,因此d也是(a,b)的公约数。
因此,(a,b) 和(a,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。
欧几里德的Python语言描述为:
def gcd(a,b): if a < b: a,b = b,a while b != 0: temp = a % b a = b b = temp return a
2. Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论是理论,还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位, 对于这样的整数,计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多cpu时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J.Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a,a) = a, 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
gcd(ka,kb) = k * gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
Stein算法的python实现如下:
def gcd_Stein(a,b): if a < b: a,a if (0 == b): return a if a % 2 == 0 and b % 2 == 0: return 2 * gcd_Stein(a/2,b/2) if a % 2 == 0: return gcd_Stein(a / 2,b) if b % 2 == 0: return gcd_Stein(a,b / 2) return gcd_Stein((a + b) / 2,(a - b) / 2)
3. 一般求解实现
核心代码很简单:
def gcd(a,b):if b == 0:return areturn gcd(b,a % b)
附上一个用Python实现求最大公约数同时判断是否是素数的一般方法:
程序如下:
#!/usr/bin/env python def showMaxFactor(num): count = num / 2 while count > 1: if num % count == 0: print 'largest factor of %d is %d' % (num,count) break #break跳出时会跳出下面的else语句 count -= 1 else: print num,"is prime" for eachNum in range(10,21): showMaxFactor(eachNum)
输出如下:
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