广义积分的几个计算公式

∫xe^(-x)dx=lim∫xe^(-x)dx=lim[-xe^(-x)-e^(-x)]|。广义积分是指将定积分概念推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形。

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，通常分为定积分和不定积分两种。对积分概念的推广来自于物理学的需要，并体现在许多重要的物理定律中，尤其是电动力学。

注：被积函数是偶函数，积分限关于原点对称，

故原式=2∫[0,+∞]e^(-x)cos²x dx

=∫[0,+∞]e^(-x)(1+cos2x)dx

=∫[0,+∞]e^(-x)dx+∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx

=-e^(-x)|[0,+∞] +∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx

=1+∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx①

=1 - ∫[0,+∞]cos2x d[e^(-x)]

=1 -e^(-x)cos2x|[0,+∞] - 2∫[0,+∞]e^(-x)sin2xdx

=1-(0-1)+2∫[0,+∞]sin2x d[e^(-x)]

=2+2e^(-x)sin2x|[0,+∞] - 4∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx

=2 -4∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx②

由①②得∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx=1/5

故原式=2-4∫[0,+∞]e^(-x)cos2xdx

=2- 4/5=6/5

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