随机并行梯度下降算法的算法流程

第一步，测量系统当前的像质评价函数值；

第二步，对控制参量 施加扰动 ，随机生成扰动向量，各扰动向量相互独立且同为伯努利分布；

第三步，保持控制参量的扰动状态，测量此时系统的像质评价函数值；

第四步，计算像质评价函数值的改变量，并按迭代公式对控制参量的取值进行修正；下图为随机并行梯度下降算法的迭代公式。

在进行梯度估计时，可使用双边扰动来提高梯度估计的精度。也就是分别对控制电压参量 施加一次正向扰动和负向扰动，并测量两次扰动后的像质评价函数值的改变量作为性能指标梯度估计。在实际应用中，如使目标函数向极大方向优化，μ取负值；反之，μ取正。算法流程图如下图所示

Rosenbrock函数

实现代码：

clc,clear all

format long g

x0=[00]

fun=@func

gfun=@gfunc

[x,val,k]=grad(fun,gfun,x0)   %最速下降法（梯度法）

目标函数

function f=func(x)

f=100*(x(1)^2-x(2))^2+(1-x(1))^2

end

梯度函数

function g=gfunc(x)

g=[400*x(1)*(x(1)^2-x(2))-x(2)+2*(x(1)-1)-200*(x(1)^2-x(2))]

end

运行结果

如有问题，可以私信于我。

用遗传算法ga()求Rosenbrock函数的结果，与用上述方法的结果相接近。

（一）装置特点及视电阻率野外计算公式

1.装置特点

图1-27 中间梯度法装置示意图

中间梯度法的装置特点如图1-27所示,这种装置的供电极距AB很大,通常选取为覆盖层厚度的7～8倍。测量极距MN相对于AB小得多,一般选用MN＝（1/30～1/50）AB,工作中保持A和B固定不动,M和N在A、B间的中部约（1/2～1/3）AB的范围内同时移动,逐点进行测量,测点为MN的中点。

中间梯度法的电场属于两个异性点电流源的电场,在AB中部（1/2～1/3）AB的范围内电场强度,即电位的梯度变化很小,电流基本与地表平行,呈平行的均匀场特点。这也就是中间梯度法名称的由来。均匀电场不仅在A、B连线的中部是如此,在A、B连线两侧AB/6范围内的测线中部也近似如此。所以,中间梯度法不仅可以在A、B两极所在的测线上移动M、N进行测量,而且在A、B固定的情况下,还可以在AB两侧AB/6范围内的测线上进行测量。这种“一线布极,多线测量”的方式,比其他电剖面方法（特别是联合剖面法）生产效率要高得多。

2.视电阻率的野外计算公式

中间梯度法的视电阻率按下式计算：

电法勘探技术

式中装置系数K为

电法勘探技术

在旁侧线上,其装置系数的一般表示式为

电法勘探技术

式中：x为MN中点的横坐标位置；y为纵坐标；坐标原点取在AB中点处；若y＝0,便得到主测线上中间梯度装置系数K的计算公式。

但必须指出,装置系数K不是恒定的,测量电极每移动一次都要计算一次K值,但AB的中点两边互为对称。

（二）中间梯度法ρs异常曲线

1.球形地质体上的ρs异常曲线

（1）视电阻率表达式

在求解简单地电条件下的位场分布时常用解析法,即根据给定的边界条件解以下微分方程：

div gradU＝2U＝0 （1-44）

这便是著名的拉普拉斯方程。在电法勘探的理论研究中,根据问题的需要,常将拉普拉斯方程转换成不同坐标系中的表达式。求解此方程便可得到地面电位的一级近似解为

电法勘探技术

式中：r为地面观察点M与球心的距离。

如图1-28所示,若以球心在地面投影点O为原点,z轴垂直向下,地面观察点坐标为M（x,y,0）,球心坐标为（0,0,h0）,则式（1-45）中r和cosθ分别为

电法勘探技术

地面上任一点M（x,y,0）的电场强度x分量为

电法勘探技术

可见,均匀场中有球体存在时,球外电场的异常分布与地下水平电流偶极子的电场等效,其等效偶极距为

电法勘探技术

可见,偶极矩的大小与球体的体积成正比,还与球体相对于围岩的电阻率比值ρ2/ρ1有关。

图1-28 地下半空间均匀电流场中的球体

根据视电阻率的微分表示式（定性分析式）,再利用公式（1-46）可直接写出中间梯度法在球体上的视电阻率解析表达式为

电法勘探技术

当上式中的y＝0时,可得主剖面上的ρs表达方式,其相对形式为

电法勘探技术

式中：μ2＝ρ2/ρ1。

（2）ρs异常曲线分析

若球体的半径为r0,埋深为h0＝2r0,相对于围岩的电阻率分别为μ2＝0.1和μ2＝10,则按式（1-49）计算的球体主剖面上中梯法ρs曲线如图1-29所示。

图1-29 球体主剖面上中梯法的ρs曲线

（a）μ2＝10；（b）μ2＝0.1；h0＝2r0

视电阻率的变化反映了地下不均匀岩石中电场分布的情况,我们可以用水平电流偶极子的电场分布规律解释上述低阻球体和高阻球体上的ρs异常特征,因为在中梯装置情况下有球体存在时,地下总的电流场乃是正常的均匀电流场与水平电流偶极子电流场的叠加。对图1-29中的ρs曲线,不难用定性分析式（1-28）并根据地表各测点处jMN的变化,定性地说明其异常特征。

（3）ρs异常曲线特征

由图1-29可见：当球体为低阻（μ2＝0.1）时,在球心上方ρs有极小值,两侧有ρs＞ρ1的极大值；当球体为高阻（μ2＝10）时,在球心正上方ρs有极大值,两侧则有ρs＜ρ1的极小值；无论高阻还是低阻球体,其上的视电阻率剖面曲线皆左右对称。因此,根据ρs曲线主极值点的坐标,可确定球心在地面的投影位置。

2.脉状体上的ρs异常曲线特征

中间梯度法主要用于寻找陡倾的高阻岩脉,如石英脉、伟晶岩脉等。这是因为在有浮土的情况下,高阻岩脉的屏蔽作用比较明显,排斥电流使其汇聚于浮土中,故jMN急剧增加而ρs曲线上升形成突出的高峰。至于低阻薄板,如充水断层等,电流容易垂直于板通过,只能使jMN发生很小的变化,因而ρs异常不明显。所以下面只讨论高阻脉上的异常曲线特征。

（1）高阻脉状体上的中梯ρs异常与产状的关系

图1-30给出了不同产状高阻脉体上,中间梯度法ρs剖面曲线的水槽模型实验结果。这里所用高阻（相对水的电阻率而言）模型,是用石墨粉和砂子制成的。由图可见,在高阻脉状体上,不论产状如何均有大于背景值（ρ水）的ρs高阻异常,但以直立高阻脉上的异常为最大。这是因为对高阻脉来说,当脉的产状为直立时（图1-30曲线1）,均匀外电流场的方向与脉的走向方向垂直,因而排斥电流的能力最强。

当高阻脉为倾斜产状时（图1-30曲线2）,由于排斥电流的能力减弱,所以ρs异常变小。曲线不对称且在倾斜方向上ρs下降较快,有明显低于ρ1的极小值。依此可判断高阻脉的倾斜方向,并能说明异常源为高阻体。

当高阻脉的产状为水平时（图1-30曲线3）,由于排斥电流的能力最差,所以ρs异常最小。若脉的厚度很薄时,甚至将观测不到ρs异常。因此用中间梯度法寻找高阻直立脉最有利,而寻找高阻水平脉最不利。

图1-30 不同产状高阻浸染石墨板上中间梯度法的ρs实验曲线

AB＝100cm；MN＝2cm；h＝2cm；浸染石墨板大小为20cm×12cm×2cm

为了对脉状体上的ρs异常做半定量解释,仍可利用ρs剖面曲线的半极值点间弦长q和拐点弦切距m。对直立高阻薄脉而言,求其顶端埋深h时,可利用由模型实验总结出的以下近似关系：

h≈0.5q,h≈0.6m

应当指出,除简单情况外,当其他条件（形状、大小、埋深和围岩电阻率及装置类型等）一定时,视电阻率剖面曲线的异常特征（形态、大小）乃与矿体电阻率（ρ2）值的大小有密切关系。如对倾斜椭球柱体（α/c＝5,b＝∞,长轴倾角α＝45°）而言。

（2）ρs异常与ρ2/ρ1的关系

当ρ2/ρ1＝10和ρ2/ρ1＝0.1时,对中梯装置情况,视电阻率剩余异常Δρs＝ρs－ρ1相对围岩电阻率ρ1之比有图1-31所示的曲线形状。由图可见,高阻体（ρ2/ρ1＝10）与低阻体（ρ2/ρ1＝0.1）的视电阻率异常曲线形态特征有明显差别：对高阻体情况,视电阻率极大值点约位于矿顶上,两侧有次级极小点（倾向一侧较明显）；而低阻体情况则不同,矿顶附近对应的视电阻率异常为零,两侧有量值相近的极小点（倾向一侧）和极大点（反倾向一侧）,约呈倒像对应。视电阻率异常形态随ρ2的变化,是因矿内、外异常电流的分布由装置类型和矿体几何特征所决定。

图1-31 在中梯装置中倾斜椭球体上不同ρ2/ρ1值的视电阻率异常曲线

1—ρ2/ρ1＝0.1；2—ρ2/ρ1＝10,α/c＝5

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