描述岩、矿石激发极化时间特性和频率特性的数学模型

（一）面极化数学模型

前已述及，面极化体表面形成过电位是产生激电效应的“源”，而过电位的形成与电极过程的迟缓性有关。面极化的性质由面极化系数k来描述。激电效应的电化学机理研究表明，面极化的时间特性或频率特性，即k随充、放电时间或频率的变化规律决定于形成过电位的电极过程的迟缓阶段。

（1）若离子扩散是电极过程的迟缓阶段，则形成浓差过电位。其在稳定电流激发下的充电过程为：

地电场与电法勘探

式中A为常数。

利用（1⁃1⁃36）式，可由上式导出频率域中浓差过电位之面极化系数的频率特性：

地电场与电法勘探

稍加变形可写成

地电场与电法勘探

这是著名的沃伯格（瓦尔堡）阻抗，其中x1为常数。

（2）若离子放电是电极过程的迟缓阶段，则产生迁越过电位。

（3）若电极上电解生成的原子转变为沉积物质通常的稳定形式的过程是迟缓阶段，则产生反应过电位。

迁越过电位和反应过电位的充电过程可以或近似可以表示成

k（T）=k0（1-e-T/（k0x2））（1⁃1⁃41）

式中，k0为长时间充电（T→∞）或零频率（f→0）时的面极化系数；此式中的x2为具有面电容量纲的常数。

按（1⁃1⁃36）式对（1⁃1⁃41）式作变换，可得出频率域面极化系数的频率特性：

地电场与电法勘探

通常，激发极化可能是几种过电位的综合效应，故综合（1⁃1⁃40）和（1⁃1⁃42）式可写出面极化系数频率特性的一般形式为

地电场与电法勘探

当取k0→∞和c=05时，上式简化为（1⁃1⁃40）式；而当取c=1时，上式还原为（1⁃1⁃42）式。

还可以进一步改写（1⁃1⁃43）式，得出面极化系数频谱的表示式：

地电场与电法勘探

式中，k0是频率为零（ω=0）时的（极限）面极化系数；c是表征k随频率变化快慢的量纲为一常数，称为频率相关系数；τ是具时间量纲的常数，称为时间常数。

对面极化标本的实测数据表明所导出的频谱表示式（1⁃1⁃44）是符合实际的。

（二）体极化数学模型

1频率域

WHPelton等基于对大量岩、矿石标本和露头的测量结果，指出激电效应引起的复电阻率的频谱可用下式表示（Pelton W H，1978），即

地电场与电法勘探

式中，ρ0是频率为零时的电阻率；m是充电率，相当于时间域的极限极化率；c是频率相关系数，量纲为一；τ是时间常数，具时间量纲。

这一激电复电阻率频率特性的公式，与20世纪40年代初期KSCole和RHCole用以描述介电极化的公式形式相同，故称其为柯尔⁃柯尔模型。

其中

地电场与电法勘探

式中

地电场与电法勘探

或者取主值（n=0）

地电场与电法勘探

将（1⁃1⁃46）式代入（1⁃1⁃45）式，得到：

地电场与电法勘探

由此可写出复电阻率各分量的表示式：

实分量

地电场与电法勘探

虚分量

地电场与电法勘探

幅值

地电场与电法勘探

地电场与电法勘探

相位

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按以上各式算出的各分量（实分量、虚分量、振幅和相位）的理论频谱曲线示于图1⁃1⁃18（陈晦鸣，杨旭，1984）。可以看出，其中的振幅A和相位φ（反号）的频谱曲线与图1⁃1⁃17中的相应实测频谱曲线很相似。

图1⁃1⁃18 绘于双对数坐标系中的柯尔⁃柯尔模型各分量的频谱曲线

ρ0=1 Ω·m；τ=01s；c=05；曲线旁的数字表示m值

2时间域

利用时间特性和频率特性的相互关系式（1⁃1⁃36），可以由频率域的柯尔⁃柯尔模型表示式（1⁃1⁃45），导出时间域的柯尔⁃柯尔模型表示式——阶跃长脉冲激发下的放电过程的表示式：

对于0＜t/τ≤2π

地电场与电法勘探

对于t/τ＞2π

地电场与电法勘探

上述表示式为包含Γ函数的无穷级数，计算起来比较麻烦。DGuptasarma提出了用数字滤波算法计算时间域柯尔⁃柯尔模型的理论值，使这一过程大为简化。

图1⁃1⁃19给出了按Guptasarma算法计算的阶跃长脉冲激发下的放电过程理论曲线（Guptasarma D，1982）。因为这些曲线是绘在双对数坐标系中的，所以不便和图1⁃1⁃16中的实测曲线对比，不过可以看出，它们的基本性态是一致的。

柯尔⁃柯尔模型中包括四个参数，其中ρ0和m是表征导电性和激电效应强弱的参数（强度参数）；c 和 τ 则分别是表征激电谱（频谱或时间谱）陡缓和（沿频率轴或时间轴）位置的参数（谱形态参数和时间参数）。对实测频谱或时间谱（充、放电曲线）进行反演，即用柯尔⁃柯尔模型理论谱与其相拟合，可以确定这些参数的数值。这些由实测参数反演计算出的“二级参数”，特别是c和τ对判断引起激电效应的极化体的性质很有用处。例如，对大量岩、矿石标本和露头的测量结果表明，各种岩、矿石激电效应的频率相关系数c值基本上都在01～06之间，导电矿物颗粒度不均匀的岩、矿石，c值较小；反之，则c值较大。激电时间常数τ值有较大的变化范围，从n×10-2到n×102s。无矿化的纯离子导电岩石和导电矿物成细粒、稀疏浸染、互不相连的岩、矿石，一般τ＜1s；而导电矿物颗粒大、相互连通较好的稠密浸染状、块状、细脉状和网脉状岩、矿石的τ值则较大，并且导电矿物连通越好，τ值越大。例如，矿化程度很高的网脉状和致密硫化金属矿，τ值可达100 s；而网脉状的石墨化岩石，τ值可能更大。这些数据表明，有可能根据激电二级参数c和τ，按结构区分极化体。

图1⁃1⁃19 时间域柯尔⁃柯尔模型的理论放电曲线

prony_my函数部分应该单独保存为prony_mym文件，也就是从function开头的那一句开始应该专门保存为prony_mym文件。然后在命令窗口输入：

x=0:005:10; % 原理想信号

y=220exp(-025x)cos(2pi15x+pi)+110exp(025x)cos(2pi10x+pi/2);

p=6; % p 为模型阶数

sf=1/005 ;% sf 为采样频率

[F,D,A,theta]=prony_my(y,p,sf);

% 调用prony 算法函数

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