小波降噪原理

小波有两个显著特点：一是在时域中都具有紧支集或近似紧支集；二是正负交替的波动性。小波分析是将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波通过平移和尺度伸缩得来的。

小波分析理论的一个重要特色是可以进行多分辨率分析。信号可通过多层分解为反映高频信息的细节部分和反映低频信息的概貌部分，通过这种多分辨率分解，信号和噪声通常会有不同的表现，从而达到信嗓分离的目的。金融时间序列去噪处理采用更广泛的方法：非线性阈值处理方法。

非线性阈值处理方法又称小波收缩法，该方法的基本原理是基于小波变换的集中能力。即通过小波变换后有用信号的能量集中于少数小波系数上，而白噪声在小波变换域上仍然分散在大量小波系数之上。因而相对来说，有用信号的小波系数值必然大于那些能量分散且幅值较小的噪声的小波系数值。因此，从谱的幅度上(不是谱的位置)看，有用信号和噪声可以实现分离。

该方法可分为以下3个步骤：

(1)选择合适的正交小波基和分解层数J，对含噪信号进行小波变换分解到J层。

(2)对分解得到的小波系数进行闭值处理，可以使用两种处理方法：硬阈值和软阈值法。硬阈值法保留较大的小波系数并将较小的小波系数置零，即：

(3)软阈值法将较小的小波系数置零，而对较大的小波系数向零进行收缩，即：

学者证明了用软阈值法能使估计信号实现最大均方误差最小化，即去噪后的估计信号是原始信号的近似最优估计。该方法具有广泛的适用性，是应用最为广泛的一种小波去噪方法，其计算速度也很快。

噪声的均值为啥要为零呢？DWT或SWT重构高频细节（噪声）使用小波变换的原理，用小波系数重构结果还原（替代）噪声，这个过程用小波基进行运算，而小波基的数学定义是均值为零（直流分量为零）所以你得到的分离出的噪声（小波重构细节）可能是均值为零的，但这并不意味你的原始噪声的均值为零。

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