什么是函数的周期？

一、周期定义
一般地，如果存在一个非零常数T，使得对于函数f(x)的定义域中的任意一个x和x+T，都有f(x+T)=f(x)。那么，函数f(x)就叫做周期函数，并且把非零常数T叫作这个函数的一个周期。
注一般情况下，如果一个周期函数有最小正周期的话，“周期”通常指的都是这个周期函数的“最小正周期”。
二、中学数学常用到的周期函数的公式
1、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则f(x+nT)=f(x)，f(x-nT)=f(x)。这里的n可以是任意整数。
2、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(x)+b、y=Af(x)、y=Af(x)+b，（注：A不等于0），都是最小正周期为T的周期函数。
3、设周期函数y=f(x)的周期（最小正周期）为T，则y=f(wx)+b、y=Af(wx)、y=Af(wx)+b都是周期函数，并且最小正周期为“T/|w|”。（注：A、w都不为0）
三、高中数学常见的周期函数的周期
1、（1）y=sinx ，最小正周期T=2π；
（2）y=|sinx|，最小正周期T= π。
2、（1）y=cosx，最小正周期T=2π；
（2）y=|cosx|，最小正周期T= π。
3、（1）y=tanx，最小正周期T=π；
（2）y=cotx，最小正周期T=π。
4、y=Asin(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。
（注：“A”、“w”为非0常数，下同。）
5、y=Acos(wx+φ)+b，最小正周期T=2π/|w|。
6、y=Atan(wx+φ)+b，最小正周期T=π/|w|。
7、常函数“y=c（c为常数）”，是以任意非零常数为周期的周期函数。
注常函数没有最小正周期。

证明因为f(x+2)=-f(x)
所以f[(x+2)+2]=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
所以f(x+4)=f(x)
周期为4
第一步就是把(x+2)看作整体X即可

如何判断一个函数的周期性:
函数的周期性——对周期函数的概念剖析与判断
现行高中数学教材指出：“一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。”又指出：“对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。”

周期函数定理，总结一共分一下几个类型。
定理1
若f(X）是在集M上以T为最小正周期的周期函数，则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X ∈M}上的以T为最小正周期的周期函数。[2]
证：
∵T是f(X）的周期，∴对 有X±T 且f(X+T)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T)+C，
∴K f(X)+C也是M上以T为周期的周期函数。
假设T 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0<T’<T）是K f(X)+C的周期，则对T’（0<T’<T）是K f(X)+C的周期，
有K f(X+T’）+C=K f(X) +C K[f(X+T’）- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’）- f(X)=0，∴f(X+T’）= f(X），
∴T’是f(X）的周期，与T是f(X）的最小正周期矛盾，∴T也是K f(X)+C的最小正周期。
同理可证1/ f(X）是集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T为最小正周期的周期函数。
定理2
若f(x）是集M上以T为最小正周期的周期函数，则f(ax+n）是集{x|ax+b∈M}上的以T/ a为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。
证：
先证f(ax+b)的周期
∵T是f(X）的周期，∴f(x±T)=f(x)，有X±T∈M，以ax+b替换x得，f(ax±T+b)=f(ax+b)，此时ax+b∈M，提取a为公因式得，f[a(x+T/a)+b]=f(ax+b)∴T/a是f（ax+b）的周期。
再证是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’/a（0<T’<T；）是f（ax+b）的周期，
则f（a（x+T’/a）+b）=f（ax+b），用x/a-b/a替换x，得f（x+T’）=f（x）
∴T’是f(x）的周期，但 T’<T这与T是f(x）的最小正周期矛盾。
∴不存在T’/a（0<T’<T；）是f（ax+b）的周期，即f(ax+b)的最小正周期为T/ a
定理3
设f(u）是定义在集M上的函数，u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x）∈M，则复合函数f(g(x））是M1上的周期函数。
证：
设T是u=g(x）的周期，则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x)）是M1上的周期函数。
例1
设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。
同理可得：⑴f(X)=Sin(cosx），⑵f(X)=Sin(tgx），⑶f(X)=Sin2x，⑷f(n)=Log2Sinx(sinx>0）也都是周期函数。
例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。
例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。
证：假设cos 是周期函数，则存在T>0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾，
∴cos 不是周期函数。
由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X）是非周期函数，这时f(g(x））可能是，也可能不是周期函数。
定理4
设f1(X）、f2(X）都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。
证：
设 （（p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X）±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X）是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X）是以T为周期的周期函数。
推论　
设f1(X) 、f2(X）……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若， … （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。
例1
f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数。
例2
讨论f(X)= 的周期性
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。
5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。
tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。
又 都是有理数
∴f(X）是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。
同理可证：
⑴f(X)=cos ;
⑵f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。
定理5
设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。
证
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x）与f2(x）的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 ∈Q
由定理4可得f1(x）与f2(x）之和、差、积是周期函数。
再证必要性（仅就f1(x）与f2(x）的差和积加以证明）。
⑴设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T>0，
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+)sin = -2sin s(a2x+) sin ⑴。
令x= 得2cos（a1x+），则 （K∈Z）。⑵
或 C∈Z⑶
又在⑴中令 2sin（a2x+）sin =-2sin =0
由⑷
由sin ⑸
由上述⑵与⑶，⑷与⑸都分别至少有一个成立。
由⑶、（5得）⑹
∴无论⑵、⑷、⑹中那一式成立都有a1/a2。
⑵设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。
判定方法
编辑
⑴若f(X）的定义域有界，[2]
例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。
⑵根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X）中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X）是周期函数，若这样的T不存在则f(X）为非周期函数。
例：f(X)=cosx 是非周期函数。
⑶一般用反证法证明。（若f(X）是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X）是非周期函数）。
例：证f(X)=ax+b(a≠0）是非周期函数。
证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使true ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X）是非周期函数。
例：证f(X)= 是非周期函数。
证：假设f(X）是周期函数，则必存在T（≠0）对 ，有（x+T)= f(X），当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0，∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X）与f(x+T)= f(X）矛盾，∴f(X）是非周期函数。
例：证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（>0），使之true ，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin(T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴（+1）2
T2=Lπ（L∈Z+），∴
与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。

呈周期变化的函数,其周期的求法是根据周期函数的定义,设法找到一个常数c使
f(x+c)=f(x)
如：奇函数f(x)满足
f(2+x)=
-
f(2-x)
求函数的周期：
因为f(2+x)=
-
f(2-x)=
-
[-f(x-2)]=f(x-2)
f(x+4)=f[(2+(x+2)]=f[(x+2)-2]=f(x)
所以函数f(x)是
以4为周期的周期函数

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