假设检验怎么做呢？

假设检验的基本步骤如下：
1、提出检验假设又称无效假设，符号是H0；备择假设的符号是H1。
H0：样本与总体或样本与样本间的差异是由抽样误差引起的；
H1：样本与总体或样本与样本间存在本质差异；
预先设定的检验水准为005；当检验假设为真，但被错误地拒绝的概率，记作α，通常取α=005或α=001。
2、选定统计方法，由样本观察值按相应的公式计算出统计量的大小，如X2值、t值等。根据资料的类型和特点，可分别选用Z检验，T检验，秩和检验和卡方检验等。
3、根据统计量的大小及其分布确定检验假设成立的可能性P的大小并判断结果。若P>α，结论为按α所取水准不显著，不拒绝H0，即认为差别很可能是由于抽样误差造成的，在统计上不成立；如果P≤α，结论为按所取α水准显著，拒绝H0，接受H1，则认为此差别不大可能仅由抽样误差所致，很可能是实验因素不同造成的，故在统计上成立。P值的大小一般可通过查阅相应的界值表得到。

看统计实务P238页的附表1。

请看统计实务P238页的附表1,是关于Z分布查表方法,注意表下面的图。

本表中,如果显著性水平a=005,则1-a=095,由于Z分布是对称图形,用095/2=0475,到表中找0475,可以看到表的行和列值是196,即为Z在005显著性水平上的临界值。

对于卡方分布,即附表2,行显示显著性水平,列显示自由度,所以如果显著水平为095,自由度为5,则卡方值为1145,对于附表5,即t值表,如果a=010,因为从该表中可以看出行表示显著性水平,列表示自由度。所以自由度为5时,t值为2015。

是卡方分布？常态分布？t还是F？
先查你要%的表，沿df找就是了，很简单的
在网上也有这种表，如
>

(一)假设检验的基本思想

统计假设检验就是为了推断某个问题,事先做出一种假设。然后用一个实测样本数据计算出某一个适合的、已知其分布的统计量,并通过查表得出其相应的临界值。再用实测样本数据计算出来的关于统计量与其临界值进行比较,从而得出肯定(接受)原假设或否定(拒绝)原假设的结论,达到统计推断之目的,下面举例说明。

[例8-4]在某测区的海西期第二阶段中粗粒黑云母花岗岩( )中进行γ测量,测得300个数据,经计算平均照射量率 =35γ,标准差s=8γ。又在同一测区的海西期第三阶段细粒黑云母花岗岩( )中测得80个数据,其平均照射量率 =37γ,标准差S=82γ,问这两种花岗岩的放射性γ照射量率有无显著性差异？能否把这两种花岗岩在统计上看成同一总体

解：假定这批γ照射量率数据都服从正态分布。此例中,300个数据是很大的样本,可以把它看成总体,故可用300个数据的平均数与标准差当作总体的均值与标准差,即μ=35γ,σ=8γ,80个观测数据仍看成是样本。由于样本标准差s=82γ与总体标准差相差甚小。因此,只需检验样本平均数 =37γ与总体平均值μ=35γ是否有显著性差异。若差异显著,则认为这种花岗岩不是同一个总体,若差异不显著,就认为两种花岗岩属于同一总体。所以,又称这种统计假设检验为显著性检验。具体步骤如下：

(1)假设H0

与μ无显著性差异,即两种花岗岩属于同一个总体。于是样本平均值

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其中：μ=35(γ),σ=8(γ), =089(γ)。

(2)构造一个统计量u

先将样本平均数标准化,即

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式(8-21)中的统计量u服从标准正态分布,即u～N(0,1)。

(3)确定临界值

给定信度α=005,则由附录一查出F(u)=1－α/2=0975所对应的uα=196,故有

P{－196＜u＜196}=1－α=095

即

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或

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其中3326γ与3674γ是临界值,而区间(3326,3674)是肯定域。区间以外为否定域。这就是说,样本平均数 x落在区间(3326,3674)内,即肯定域内,此时称发生了概率为95%的大概率事件,可肯定原假设；若样本平均数落在该区间以外,即否定域内,此时称发生了概率为5%的小概率事件,可否定原假设。

(4)计算实测样本平均数

由于实测样本平均数 =37γ＞3674γ,落在区间以外,即否定域内,故否定原假设H0,认为样本平均数 x与总体均值μ差异显著。因此两种 与 在γ照射量率上有显著性差异,不属于同一总体。若要进行底数统计,则应分别进行统计。

(二)差异的显著性与信度(显著性水平)

上例的统计推断性结论是在信度(显著性水平)α=005的条件下做出的。如果将信度α定得小一些,那么做出的统计性结论就有可能改变。比如α=001,由附录一可查出F(u)=1－α/2=0995所对应的u临界值uα=258,故有

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或

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在这种情况下,临界值为327γ与373γ,故区间(327,373)为肯定域。而实测样本 =37＜373,应肯定原假设H0：认为样本平均数 与总体均值μ无显著性差异。因此把两种花岗岩( 与 )看成是同一总体,若要进行底数统计,这两种岩性不必分开。

显而易见,信度α如何选择,直接影响到差异是否显著的结论。可见,任何差异是否显著的推断都是在一定的信度(显著性水平)α下做出的。α定得越大,肯定域就小,但推断的可靠性差(即置信概率小)。反之,α定得愈小,肯定域就愈大,推断的可靠性强(置信概率大)。放射性物探工作中所要进行的统计假设检验,一般将信度α定为005或001较为恰当,此时置信概率分别为95%与99%。

(三)统计假设检验的分类

统计假设检验可分为两大类,即参数性方法与非参数性方法,就是假定总体的分布型式已知(经常假定为正态分布),只要对参数进行检验即可。非参数性方法,则不管总体的分布如何,都能应用。

参数性方法又可分为大样本与小样本推断两种。一般当n＞30～50时,可称为大样本,凡属大样本一律可按正态分布处理。

(四)分布型式的检验

放射性物探工作中经常要统计各种底数。进行底数统计之前,就要对观测数据进行分布型式的检验,以确定观测数据服从何种概率分布,并采用相应的底数与标准差的计算方法。当然根据频率分布直方图的形状也大致可以看出其分布型式,但这是不严格的,需要进行检验。检验的方法很多,下面介绍几种方法：

1偏度、峰度检验法

这是一种检验概率分布是否属于正态分布的参数性方法,要求有大样本(n＞100)。此种检验方法中要用的两个统计量CS(偏度)与CE(峰度),其计算公式已在本项目学习任务一中给出。

当总体服从正态分布时,若样本为大样本(n＞100),则统计量CS、CE近似服从正态分布,即CS～N(0,6/n),CE～N(0,24/n)。

现以本项目学习任务一某花岗岩体的228个γ测量数据为例,说明如何用偏度系数和峰度系数法检验分布型式的方法。

[例8-5]用偏度系数和峰度系数法检验表8-1中某地区γ普查数据是否服从正态分布,给定信度α=005。

(1)假设H0

该地区γ照射量率数据服从正态分布。又因样本容量n=228,为大样本,故

CS～N(0,6/228),CE～N(0,24/228)

将这两个参数标准化,有

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经过标准化变换以后,公式(8-22)和公式(8-23)都服从标准正态分布N(0,1)。

(2)计算标准化后的概率区间

在α=005下,查得F(u)=1－α/2=0975所对应的uα=196,故有

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即

P{－032＜CS＜032}=095

故CS的临界值为－032和032,即区间(－032,032)为肯定域,其外为否定域。

同样对于CE,有

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即

P{－064＜CE＜064}

故CE的临界值为－064和064,即区间(－064,064)为肯定域,其外为否定域。

(3)计算样本的CS和CE

根据实测数据可用列表法求取偏度系数CS和峰度系数CE,见表8-5。

表8-5 某地区放射性测量γ射线照射量率(γ)偏度系数和峰度系数计算表

续表

根据表8-5计算CS和CE,步骤如下：

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三阶中心矩(M3)和四阶中心矩M4计算如下：

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于是

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(4)比较

将由实测样本计算的CS和CE与其临界值进行比较,可见样本的CS=00903和CE=－05921都落在肯定域内,故肯定原假设,认为该地区的γ射线照射量率符合正态分布。

2正态概率格纸检验法

显然上述检验方法比较麻烦,计算工作量较大,而且要求是大样本。在本项目学习任务二曾指出,在正态概率格纸上做出的正态分布的累积概率曲线为一条直线。因此便可根据画在正态概率格纸上的实测样本数据的诸(xi,Fi)点是否基本在一条直线上,来检验该批数据是否符合正态分布。其中xi为实测样本分组数据的组上限,Fi为其累积频率。这种检验方法称为正态概率格纸检验法。

下面仍然以某地区花岗岩228个γ照射量率数据为例,说明其检验方法。

[例8-6]使用表8-1的数据,用正态概率纸法检验某地区γ普查数据是否符合正态分布。

解：以表8-1中的累积频率为纵坐标,将数据分组值(组上限)为横坐标,在正态概率格纸上打点,即A(215,132)、B(255,746)、C(295,2064)、D(335,4123)、E(375,6464)、F(415,8264)、G(455,9474)、H(495,9825)；然后用直尺画一条直线,尽可能将各点联结起来,如图8-9所示,其做法与用累积频率展直线法求正常值的做法相同。

由图8-9可见,这些点基本落在一条直线上,因此该批数据服从正态分布,这与用偏度、峰度检验法得出的结论相同。由图8-9还可见到,有些点与直线有些偏差,这是允许的,但是偏差不能太大。偏差太大,则不一定属于正态分布。一般说来,中间的点(即靠近累积频率为50%横线附近的点)偏差不能太大,两端的点偏差可以适当大一点。究竟偏离多远可认为是允许的,需绘制一定信度α下的临界曲线,见图5-5所示,以此作为衡量的标准。临界值曲线的画法请参阅有关书籍。

3χ2检验法

χ2检验不但可以检验正态分布,还可以检验泊松分布、二项分布、负二项分布、指数分布等的分布型式。

(1)理论原理

这是在总体x为未知时,根据它的n个观测值x1,x2,…,xn来检验关于总体分布的假设

H0：总体x的分布函数为F(x)　(8-24)

的一种方法。

注意,若总体分布为离散型,则假设式(8-24)相当于

H0：总体x的分布律为P{x=ti}=pi(i=1,2,…)　(8-25)

若总体分布函数为连续型,则假设式(8-24)相当于

H0：总体x的概率密度为f(x)　(8-26)

式(8-24)～式(8-26)是χ2检验的理论模型表达式。

在用下述χ2检验法检验假设H0时,要求在假设H0下F(x)的分布型式及其参数都是已知的。但实际上参数往往是未知的,这时,需要先用极大似然法估计参数,然后做检验。

χ2检验法的基本思想是：把随机实验结果的全体S分为k个互不相容事件A1,A2,…,Ak(A1∪A2∪…∪Ak=S,AiAj=ϕ,i≠j；i,j=1,2,…,k)。于是,在假设H0下,我们可以计算理论频率pi=P(Ai)(i=1,2,…,k)。显然,在n次试验中,事件Ai出现的频率 /n与pi有差异。一般来说,若H0为真,则这种差异并不显著；若H0为假,这种差异就显著。基于这种想法,皮尔逊(pearson)使用统计量

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作为检验理论(即假设H0)与实际符合的尺度。并证明了如下的定理：若n充分大(n≥50),则不论总体属于什么分布,统计量式(8-27)总是近似地服从自由度为k－r－1的χ2分布。其中,r是被估计参数的个数。

于是,若在假设H0下算得皮尔逊统计量的值,即式(8-27),有

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则在显著性水平α下拒绝H0；若式(8-28)中不等号反向,就接受H0。

χ2检验的具体步骤是：

把实轴分为k个互不相容的区间[αi,αi+1](i=1,2,…,k),其中αi,αi+1可分别取－∞,+∞。区间的划分方法视具体情况而定。

其次,计算概率

pi=F(αi+1)－F(αi)=P{αi＜x≤αi+1}　(8-29)

此处,F(x)由式(8-29)确定。然后算出pi与样本容量n的乘积npi称为理论频数。

同时,计算样本观察值x1,x2,…,xn在区间(αi,αi+1]中的个数 (i=1,2,…,k),称为实际频数。

然后,将 和pi的值代入式(8-27),算出χ2的值。于是对于给定的显著性水平α,按式(8-28)做出拒绝还是接受H0的判断。

χ2检验法是在n无限增大时推导出来的,所以在使用时必须注意n要足够大,以及npi不太小这两个条件。根据经验,要求样本容量n不小于50,当n刚刚大于50附近时,npi最好在5以上,在n大于100时npi最好取10以上,否则应当适当的合并区间(或Ai),使npi满足这个要求。特别是在边部小概率事件下要进行适当地并组,这样可以有效的压低边部“干扰”,突出数据中部的“有用信号”。

下面通过实例来说明检验的过程。

(2)应用实例

[例8-7]试用χ2检验的办法检验某地区闪长岩钍含量是否服从对数正态分布(取α=005)。原始数据单位为10－6,取常用对数以后的统计结果见表8-6。

表8-6 某地区闪长岩钍含量对数值统计表

解：为方便起见,根据表8-6所整理的结果来做检验。因参数都是未知的,故应用极大似然估计法估计μ、 得,

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注意：这里的 表示μ的估计值,所以它与 是相等的。

估计 时,如果是手算,则利用公式(8-7),得

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注意,公式中的n=110,为样品容量；k为分组数,表示并组后的组数。这里对第1～3和13～15组进行了并组,故k=11。对于分组时两头的小组实行并组是为了有效地减小偶然误差。

所以,我们要检验的假设为

H0：x～N(07509,024842)

为便于计算npi,应先做变换u=(x－07509)/02484。化x为标准正态变量u,与正态分布概率纸检验法一样,查出各个u之下的累积频率,算出区间频率、频数,这些都是理论值。如表8-7所示。

表8-7 某区闪长岩钍含量对数正态分布χ2检验表

标准正态分布表中查出的是累积频率F(u)；每一个区间频率为该区间累积频率与上一个区间累计频率之差；n=110,为样品容量,而非分组组数,故npi表示理论频数； 为实际频数；最后是皮尔逊统计量。

由于并组后组数k=11,估计了两个参数( , ),于是r=2；故自由度k－r－1=8,查χ2分布表(见附录二),得

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故在水平α=005下接受H0,认为该地区岩石钍含量符合对数正态分布,并且钍含量对数 =07509,对数均方差^σ=02484；对应的Th含量是564×10－6,Th含量均方差为177×10－6。

通过上例可见,用χ2检验法(或其他检验方法)得到的结果往往较概率纸精确。特别是,有的检验法(如χ2检验法)能控制犯第一类错误的概率α,这是概率纸所做不到的。但概率纸使用方便,无须太多的计算,因此,概率纸常用来初步估计总体的分布类型及参数的一次近似之用。然后用χ2检验法(或距离计算法、偏度系数和峰度系数检验法等)进一步做精确的检验。

(五)平均数的对比(U检验和t检验)

由本项目学习任务二正态分布的介绍,可知正态分布有两个重要参数,一个是均值μ,另一个是标准差σ。当μ与σ确定后,正态分布N(μ,σ)就完全确定了；且在一般情况下,标准差σ比较稳定。要检验两个正态分布是否相同,或者说,两个正态分布的样本是否属于同一总体,只要对均值μ做检验,这就是平均数对比的实质。放射性物探工作中要经常遇到某些元素的含量,放射性γ照射量率等的对比问题,仪器的“三性”检查工作中也要碰到类似的问题。

设从两个正态总体N(μ1, )、N(μ2, )中分别抽取容量为n1及n2的两个样本,其平均数分别记为 及 。当总体方差σ2未知时,由于要用样本方差s2去估计总体方差σ2,故做检验时,大样本与小样本是不相同的。因此,有大样本的平均数对比U检验,小样本的平均数对比t检验之分。

1大样本平均数的对比——U检验

当两个样本为大样本,即n1＞30,n2＞30时,由本任务可知,两样本的平均数 、 ,服从于N 与N 的正态分布。而其差值 则服从于N 的正态分布。前已假定方差比较稳定,因而有 ,于是 服从N 的正态分布。

U检验的步骤如下：

(1)假设H0

μ1=μ2,于是

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将 进行标准化变换,令

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那么新变量U服从标准正态分布,即U～N(0,1),U就是检验中要用的统计量,可查F(u)表(见附录一),故称为U检验。

(2)确定临界值

若选定信度α=005,则从F(u)反查u值表中根据F(u)=1－ =0975查出u的临界值uα=196。于是U位于区间(－196,196)的概率为95%,即P(－196＜u＜196)=095。也就是说在α=005的条件下U的肯定域为区间(－196,196)。可见|U|＞196为其否定域。

(3)比较

计算实测样本的U值,与临界值uα进行比较。若|U|＞uα,则否定原假设；若|U|＜uα,就肯定原假设。

为了计算实测样本的U值,必须知道总体的标准差σ。若σ已知,则无论大、小样本都可用U检验进行假设检验。若σ未知,则要用两样本标准差s1、s2的加权平均值来估计总体标准差σ,即用

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代替σ,于是

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式(8-31)就是计算的U值,下面举例说明。

[例8-8]在某一斑状黑云母花岗岩地段进行放射性γ照射量率测量。测得169个数据(n1),平均照射量率 =317γ,标准差s1=25γ。后又在其相邻地段测得γ照射量率数据99个(n2),平均照射量率 =288γ,标准差s2=26γ。那么这两地段可否看成同一总体或同一岩性

解：经过分布型式检验,两样本γ照射量率数据均服从正态分布,两样本标准差又近似相等,且都是大样本。显然可用U检验对两地段的平均数进行对比。将数据代入公式(8-31),可算出实测样本U值,即

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取信度α=005,查附录一,得U的临界值uα=196。而实测样本U=9034＞uα=196,故否定原假设H0,认为斑状黑云母花岗岩地段与其相邻地段不是同一总体,或者说,不是属于同一岩性。后经地质调查证实岩性为细粒二云母花岗岩,这两种花岗岩的结构不同,成分不同,侵入时代也不相同。

2小样本平均数的对比——t检验

当两个样本中,只要有一个为小样本时,即n1与n2中有一个小于30,用样本方差s2去估计总体方差时,要用无偏估计量,即

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在这种情况下得不出新变量u服从标准正态分布的结论。因此也就不能用上述U检验的方法进行检验。用两个样本方差 、 来估计总体σ2时必须用公式

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来代替σ,这时要构造一个新的统计量t。t不像两个大样本的情况下要服从标准正态分布,而服从自由度f=n1+n2－2的t分布,或称学生(Student)分布。

当给定了信度α,如α=005,且自由度f=n1+n2－2为已知时,可在t分布临界值tα表中(见附录三)查出临界值tα。其否定域为|t|≥tα。

[例8-9]在同一地点、相同条件下用两台γ能谱仪进行测量。第一台仪器测量10次,测得铀含量(10－6)x1分别为35、32、30、31、32、33、33、32、31、32,平均铀含量 =321×10－6,标准差s1=0137×10－6；第二台仪器测量12次,测得铀含量(10－6)x2分别为31、35、33、32、34、34、35、36、31、34、35、33,平均铀含量 =3358×10－6,标准差s2=0162×10－6。问两台仪器测量结果是否一致

解：因为 ,这实际上是平均数对比问题。

1)假设H0,两台仪器读数的均值相等,即

μ1=μ2

2)计算实测样本统计量t：

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3)比较：

若取信度α=005,查t分布表(见附录三),其自由度f=n1+n2－2=20时,查得t的临界值tα/2=208。因为|t|=2285＞tα/2=208,所以否定原假设H0,μ1≠μ2,认为两台仪器读数的平均值差异显著,故两台仪器的一致性不好。

(六)方差对比——F检验

在平均数对比中,检验两个总体均值是否相同(无论大样本或小样本)之前,都应先假定被检验的两个总体服从正态分布,且方差相等。如果不能肯定方差基本相等则需先进行方差检验。只有当方差无显著性差异后,方可进行平均数的对比；否则,就不必进行平均数对比了,因为方差差异显著,已可认为两者不是同一总体了。

假设从两个正态总体N(μ1, )、N(μ2, )中,各抽取大小分别为n1、n2的样本。求出两样本之方差：

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通过对比两样本方差 与 来推断两个总体 与 间有无显著性差异。为此要构造一个“方差比”的统计量F,即

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统计量F服从第一自由度f1=n1－1、第二自由度f2=n2－1的F分布。当给定信度α后。且第一自由度f1与第二自由度f2为已知时,可从F分布临界值表中(见附录四)查出临界值Fα。本来当信度为α时,F检验的否定域为左右两边各取面积为α/2的两部分(图8－10)。但为了制表省略起见,F分布临界值表中,往往只给出F＞l的右边临界值。因此,当给定了信度α,并已知第一自由度f1与第二自由度f2的情况下,查附录四时实际得出的是Fα/2值,这样在计算样本方差比F值时,就要使得F永远大于1。为此总是把两方差 与 中较大的一个放在分子上。若根据样本计算出的F＜临界值Fα/2,则为肯定域；若F＞Fα/2,就是否定域。

图8-10 F分布概率密度曲线图

[例8-10]用例8-9中两台仪器在同一地点观测的数据为准,用F检验的办法检验这两台能谱仪的方差有无显著差异。已知α=010。

解：设 与 分别表示第一台仪器和第二台仪器读数的总体方差。

1)假设H0：

2)计算方差比：

第一台仪器10次测量和第二台仪器12次测量的均方差分别是s1=0137×10－6和s2=0162×10－6,直接代入公式(8-33)中,得

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3)确定临界值Fα：

已知α=010,第一自由度f1=10－1=9,第二自由度f2=12－1=11,查附录四,得Fα/2=F(005)=227。

4)比较：

由于两个样本的方差比F=1398＜Fα=227,落在肯定域内,故肯定原假设H0： ,即两台仪器读数的总体方差无显著差异。于是可进一步对两台仪器读数的平均值进行检验,以确定两台仪器的一致性是否符合要求。

宜采用两独立样本均数的t检验进行计算。过程基本都是一样的，只公式不同。1、作两样本的正态性检验及方差齐性检验。2、建立检验假设，确定检验水准H0：u1=u2 无影响H1：u1u2有影响a＝0053、计算检验统计量（用下面的公式）4、确定P值，作出推断结论。（此步要查t界值表，双侧）。具体数值自己算吧。

这张图里的方差分析F检验结果不显著。看显著性检验结果有两种方法。

1、根据F值判断。

SPSS输出的表格中“F”即样本的计算结果。之后考虑显著性检验的临界值α和F统计量的自由度，在F检验表中查找F的临界值（下表是α=01的F临界值表，如果α设定为005或001则应查找对应的F检验表）。最后，将SPSS计算出的F值与F临界值比较，若大于临界值则可以说在α的意义下结果显著，否则不显著。

2、根据Sig判断。

SPSS输出的Sig结果即将计算出的F值根据自由度转换为了P-Value，可以直接根据Sig判断是否显著，若Sig<α则结果显著，否则不显著，这一方法更方便。

在此基础上拓展一下，z检验、t检验、Chi-Square检验（卡方检验）等判断显著或进行假设检验的方式都是类似的，或者根据对应的检验表，或者根据P-Value。如果根据检验表判断，可分为三步：

第一步，计算统计量的观测值，例如此处的F值，这一步SPSS会直接输出；

第二步，查表，根据自由度和α找到临界值；

第三步，将SPSS输出的统计量观测值与查表所得临界值进行对比，得出结果。

相较之下，根据P-Value来判断则非常简单，SPSS已经根据样本计算并输出了P-Value，只需将P-Value和α对比即可。

此外在一些情况下，SPSS也会自动以星号（）的数量对是否显著进行标记，例如做相关系数分析时，在001级别相关性显著会标注出“”，在005级别相关性显著标注“”等等。

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