自然对数中的e是怎么得到的

e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”以前人们做乘法就用乘法,很麻烦,发明了对数这个工具后,乘法可以化成加法,即：
log(a b) = loga + log

x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,e就是通过这个极限而得它是个无限不循环小数其值约等于2718281828
以e为底数,即ln,许多式子都能得到简化,叫自然对数,或是双曲对数
在研究一些实际问题,如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时,都要研究(1+1/x)^x

e,作为数学常数,是自然对数函数的底数有时称它为欧拉数（Euler number）,以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数,以纪念苏格兰数学家约翰��纳皮尔引进对数它就像圆周率π和虚数单位i,e是数学中最重

称“自然对数”又称“双曲对数”以超越数 e＝1＋11!＋12!＋13!＋…＝271828… 为底的对数用记号“ln”表示有自然对数表可查 当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的它是个无限不循环小数其值约等于2718281828 它用e表示 以e为底数的对数通常用于㏑ 而且e还是一个超越数 e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数” 涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式,比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟,一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪,数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中,α和k为常数,φ是极角,ρ是极径,e是自然对数的底为了讨论方便,我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”因此,“自然律”的核心是e,其值为271828……,是一个无限循环数

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：
log(a

b)
=
loga
+
logb
但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1所有乘数/被乘数都可以化到01-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
2那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看；）
3这个0-1间的底数不能太小，比如01就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如01做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1换句话说，像05和055这种相差不大的数，如果用01做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。
4为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如099就很好，09999就更好了。总的来说就是1
-
1/x
，
x越大越好。在选了一个足够大的x（x越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算
（1-1/x）^1
=
p1
,
（1-1/x）^2
=
p2
,
……
那么对数表上就可以写上
p1
的对数值是
1，p2的对数值是
2……（以1-1/x作为底数）。而且如果x很大，那么p1,p2,p3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了01-1之间的区间。
5最后他再调整了一下，用
（1
-
1/x）^
x作为底，这样p1的对数值就是1/x，
p2的对数值就是2/
x，……
px的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若x=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-几之间。两个值之间最小的差为1/x。
6现在让对数表更精确，那么x就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，x变大时，这个底数（1
-
1/x）^
x趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到01-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了
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这个大数学家就是著名的欧拉(euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。

这个问题属于初等函数范畴，需要具备函数极限、微积分 方面的知识基础。浏览了楼主的回答列表，我认为楼主的知识基础已经具备。
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设函数 f(x) = (1 + 1/x)^x
首先证明当 x 趋向正无穷大时，该函数有极限。其次求该极限。
取x为整数n的情况，利用二项式定理
f(n) = (1+1/n)^n
=（k从0到n的求和）∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!n^k)
=(k从0到n的求和)∑(1/k!)(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]
同理写出f(n+1)的展开式，容易看出 f(n+1) > f(n)
因此 f(n)是单调递增函数
同时从f(n)的展开表达式还可以得到
f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2！ + 1/3！ + …… + 1/n!
再利用 n! > 2^(n-1) ，。。。（此定理的证明从略）
f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)
= 3 - 1/2^(n-1) < 3
综上所述，f(n)随n单调递增，同时有界。因此 f(n)有极限。
之后利用初等函数中的夹挤定理，又可以进一步证明 f(x) 与f(n)类似。于是定义 x趋于正无穷大时，f(x)极限值为 e。
通过对 x取一个很大的数，可以计算出 e。x取得越大，e值越精确。
e≈27182818284……
e 值是这样定义出的。进一步研究又表明e值有一些有趣的数学性质。
例如对于以a为底的对数函数 f(x)=loga(x)求微分，
其结果为 f'(x)= [loga(e)]/x
这个结果的简单证明过程：
f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx 。其中 Δx 趋向0。
代入 f(x)及 f(x+Δx)表达式后，
f'(x)= （1/x) lim loga(1+Δx/x)^(Δx/x)
f'(x) = (1/x) lim loga(1 +1/z)^z ，其中z趋向正无穷大
所以
f'(x)=(1/x) loga(e)
然后在利用这个结果以及反函数的微分，可以证明 指数函数的微分 为
f(x) = a^x
f'(x) = loge(a) a^x
因此定义 loge(a) = ln a
自此出现了自然对数。
另外从 (a^x)' = lna a^x 可以推出 e^x 的导数恰好是其自身。

e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是271828……，是这样定义的：

当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。

注：x^y表示x的y次方。

随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于271828……，不信你用计算器计算一下，分别取n=1,10,100,1000。但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了。

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

自然对数

当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。

它是个无限不循环小数。

其值约等于2718281828

它用e表示

以e为底数的对数通常用于㏑

而且e还是一个超越数

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。

以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。

为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。

因此，“自然律”的核心是e，其值为271828……，是一个无限循环数。

、“自然律”之美

“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。

e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：

(1+1/x)^x

当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究

(1+1/x)^x

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。

正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=271828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=271828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。

熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。

退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。

这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。

如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。

任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。

新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。

正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。

因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。

e=271828……是“自然律”的一种量的表达。

“自然律”的形象表达是螺线。

螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。

对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。

伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。

事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。

为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。

化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。

这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。

让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。

这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。

谁能说清e=271828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。

有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。

人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的d簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。

有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。

这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。

正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。

（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）

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