证明矩阵的等价满足反身性 对称性 传递性

等价向量组
反身性：向量组A等价于自身,记：A
称性：若向量组A~向量组B,则向量组B~向量组A
传递性：若向量组A等价向量组B,向量组B等价向量组C,则向量组A等价向量组C
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证明矩阵的等价满足反身性 对称性 传递性
请详细描叙问题

应该说这个标准型看上去不是很舒服, 最好先把它转化到
M=diag{D,D,,D,0,0,,0}
其中
D=
0 1
-1 0
这步合同变换很容易, 按1,n,2,n-1,3,n-2,的次序重排行列即可
所以问题归结为证明反对称矩阵和上述块对角阵M合同, 这样就可以用Gauss消去法
如果A=0则已经证明
如果A≠0, 那么存在一个非零的主子阵
U=
0 A(i,j)
-A(i,j) 0
通过行列重排可以不妨设i=1,j=2, 也就是说可以取排列阵P使得
PAP^T =
U V^T
-V W
然后用U进行消去, 即取
L =
I 0
VU^{-1} I
得到
LPAP^TL^T =
U 0
0 W+VU^{-1}V^T
由于W+VU^{-1}V^T反对称, 可以用归纳假设
这样就证明了A合同于diag{U,D,,D,0,,0}
至于U合同于D, 这个不用教了吧
请采纳。

最简单的例子：单位矩阵
E＝
1
0
0
0
1
0
0
0
1
单位矩阵就是对称正定矩阵。证明也很简单，
对于任一个非零向量X，都有
X'EX=X'X＝|X|^2>0，只有当X=0向量时，X'EX才等于0，
所以是正定矩阵。
如果你想找一个复杂点的，那你用任意一个3阶可逆矩阵A，让它与它的转置矩阵A'相乘，得到的矩阵就是一个3阶对称正定矩阵。

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