多元函数极值问题，求该方程组求解的详细过程

分享解法如下。方程组中，第1个方程减去第2个方程，可得，2(x-y)-2λ(x-y)=2(x-y)(1-λ)=0。
又，λ为任意常数。∴x=y。再代入z=x²+y²和x+y+z=4即可求解。

经提醒，再次审视了题目和我的回答，发现只有当题目是“X^n+Y^n-nXY”的模板样式时，我原回答的思路可以快速得出f''xy等于多少。

所以，正确的逻辑和解法如我评论中的网友所言，先求f'(x）=3x^2-3y，之后才有f''xy=-3，是有其正确的顺序的。

以下为当年投机取巧的回答--------------------------------------------------------------------

我也是看教材一时没明白过来，看了你的问题突然恍然大悟哈哈。建议你将式子抄下来草稿纸去理解。

求fxy（x，y），实际上是把原式f（x）里面xy当成一个整体求导，单独的x与y当作常数。

也就是你里面f(x)=x^3+y^3-3xy，实际上可以看成f（t）=C^3+C^3-3t（其中C为常数），所以f'(t)=-3，这样说能懂吗？

再通俗点，就是f(x)里面只有“xy”这个东东能求导，其他单x或单y通通当作常数的意思。

各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。
以二元函数为例，设函数z=f(x,y)在点（x。,y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。,y。）,fy(x。,y。）=0,令
fxx(x。,y。)=a,fxy=(x。,y。）=b,fyy=(x。,y。）=c
则f(x,y)在（x。,y。）处是否取得极值的条件是
（1）ac-bb>0时有极值
（2）ac-bb<0时没有极值
（3）ac-bb=0时可能有极值，也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。
如果是条件极值，那么更复杂一些。
大一的时候数学分析讲的，网上不好找到教材，建议你看一下大学课本。
如果需要我可以发给你pdf。

答：多元函数和一元函数的极值求解方法是不一样的。f'x(x,y)=0和f'y(x,y)=0,仅仅是函数极值存在的必要条件，这一点和一元函数f'(x)=0是一样的；但是存在极值点的充分条件是不一样的；二元函数和一元函数都是看二阶导数；但是二元函数的充分条件要复杂一些。
在函数具有二阶连续的偏导数的条件下，设f''xx=A，f''xy=B。f''yy=C;
如果AC-B^2>0, 有极值存在，
AC-B^2<0, 没有极值；
AC-B^2=0，不确定，还需另做讨论。
因此，思路为求解可能存在的极值点。求驻点，求二阶偏导数，检验有无极值，如果只有一个极值点，一般说来就是最点。就不用考察边界了。
f'x=2xy(4-x-y)-x^2y=0, 令x,y≠0即8-3x-2y=0(1)
f'y=x^2(4-x-y)-x^2y=0, 即：4-x-2y=0(2)
(1)-(2),得：4-2x=0; 解得：x=2， 代入(2),得：y=1；
f''xx=2y(4-x-y)-2xy-2xy=2y(4-x-y)-4xy=21(4-2-1)-421=-6<0；
f''xy=2x(4-x-y)-2xy-x^2=22(4-2-1)-22-4=-6;
f''yy=-x^2-x^2=-2x^2=-8;
(-6)(-8)-(-6)^2=12>0； 为极值点，因为f''xx<0, 为极大值。
f(2,1)=2^21(4-2-1)=4, 为函数的最大值。

首先求临界点
对于一个多元函数f，如果有一个点满足f所有自变量的偏导都同时为0，那么这个点被称为f的临界点，也称为驻点。
例：求f(x, y) = x2 – 2xy + 3y2 + 2x – 2y只有一个临界点(-1, 0)
接着判断临界点的类型：临界点可能是极大值点 极小值点 或者鞍点 (或者什麼都不是）
f(x, y)的一个临界点是(x0, y0)，即fx(x0, y0) = 0 && fy(x0, y0) = 0，f的二阶导数是fxx,fxy,fyy 令A=fxx(x0,y0), B=fxy(x0,y0), C=fyy(x0,y0)
该临界点有如下结论：

多元函数的极值及最大值、最小值
定义设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式
，
则称函数在点有极大值。如果都适合不等式
，
则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。
例２函数在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。
例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：
证不妨设在点处有极大值。依极大值的定义，在点的某邻域内异于的点都适合不等式
特殊地，在该邻域内取，而的点，也应适合不等式
这表明一元函数在处取得极大值，因此必有
类似地可证
从几何上看，这时如果曲面在点处有切平面，则切平面
成为平行于坐标面的平面。
仿照一元函数，凡是能使同时成立的点称为函数的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数的驻点，但是函数在该点并无极值。
怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。
定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令
则在处是否取得极值的条件如下：
(1)时具有极值，且当时有极大值，当时有极小值；
(2)时没有极值；
(3)时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：

求f(x,y)=x³+2xy-y³+2的极值，解：令∂f/∂x=3x²+2y=0①再令∂f/∂y=2x-3y²=0②由②得x=(3/2)y²；代入①式得 (27/4)y^4+2y=y[(27/4)y³+2]=0，故得：y₁=0；y₂=-2/3；相应地，x₁=0；x₂=2/3；即有两个驻点：M(0，0)；N(-2/3，2/3)。

再求两驻点处的二阶导数：A=∂²f/∂x²=6x； B=∂²f/∂x∂y=2； C=∂²f/∂y²=-6y；M(0，0): A=0；B=2；C=0；B²-AC=4>0，故M不是极值点；N(-2/3，2/3): A=-4<0； B=2； C=-4； B²-AC=4-16=-12<0；故N是极大点。极大值f(x,y)=f(-2/3，2/3)=(-2/3)³+2(-2/3)(2/3)-(2/3)³+2=-16/27-8/9+2=14/27

扩展资料

人们常常说的函数y=f(x)，是因变量与一个自变量之间的关系，即因变量的值只依赖于一个自变量，称为一元函数。

但在许多实际问题中往往需要研究因变量与几个自变量之间的关系，即因变量的值依赖于几个自变量。

例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个。要全面研究这类问题，就需要引入多元函数的概念。

参考资料来源：百度百科-多元函数

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