数学建模：人口模型

文章目录

• • • • Malthus指数增长模型
      • • 参数估计
      • 改进的指数增长模型
      • logistic模型
      • • logistic模型的参数估计
      • 两个模型比较

Malthus指数增长模型

假设人口自然增长率 r 为常数，即单位时间内人口的增
长量与当时的人口呈正比。

{ d x d t = r x x ( 0 ) = x 0 x ( t ) = x 0 e r t \left\{\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt} = rx\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\ x(t) = x_0e^{rt} {dtdx​=rxx(0)=x0​​x(t)=x0​ert

人口倍增时间： T = ln ⁡ 2 r T = \frac{\ln2}{r} T=rln2​

参数估计

1. 线性化后，利用线性最小二乘法
   x ( t ) = x 0 e r t ln ⁡ x ( t ) = r t + ln ⁡ x 0 y = r t + a x(t) = x_0e^{rt}\ \ln x(t) = rt+\ln x_0\ y = rt+a x(t)=x0​ertlnx(t)=rt+lnx0​y=rt+a

2. 先做数值微分，再计算增长率，将平均增长率作为增长率r的估计值，边界值 x 0 x_0 x0​直接采用原始值。
   

   
   

   
   x ′ ( t 0 ) = − 3 x 0 + 4 x 1 − x 2 2 Δ t x ′ ( t k ) = x k + 1 − x k − 1 2 Δ t x ′ ( t n ) = 3 x n − 4 x n − 1 − x n − 2 2 Δ t x'(t_0) = \frac{-3x_0+4x_1-x_2}{2\Delta t}\ x'(t_k) = \frac{x_{k+1}-x_{k-1}}{2\Delta t}\ x'(t_n) = \frac{3x_n-4x_{n-1}-x_{n-2}}{2\Delta t} x′(t0​)=2Δt−3x0​+4x1​−x2​​x′(tk​)=2Δtxk+1​−xk−1​​x′(tn​)=2Δt3xn​−4xn−1​−xn−2​​

改进的指数增长模型

假设人口增长率r是线性可变的。

{ d x d t = r x r = r 0 − r 1 t x ( 0 ) = x 0 x ( t ) = x 0 e \left\{\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt} = rx\ r = r_0 - r_1t\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\ x(t) = x_0e^{} ⎩⎨⎧​dtdx​=rxr=r0​−r1​tx(0)=x0​​x(t)=x0​e

logistic模型

自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，随着人口的增加，阻滞作用越明显。

资源和环境所能容纳的最大人口数量是 x m x_m xm​。

当达到这一最大值时，人口不再增长。

因此，假设人口增长率 r是 t 时刻人口x的减函数： r ( x ) = r 0 ( 1 − x x m ) r(x) = r_0(1-\frac{x}{x_m}) r(x)=r0​(1−xm​x​)
{ d x d t = r x ( 1 − x x m ) x ( 0 ) = x 0 x ( t ) = x m 1 + x m − x 0 x 0 e − r t \left\{\begin{array}{rcl}\frac{dx}{dt} = rx(1-\frac{x}{x_m})\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\ x(t) = \frac{x_m}{1+\frac{x_m-x_0}{x_0}e^{-rt}} {dtdx​=rx(1−xm​x​)x(0)=x0​​x(t)=1+x0​xm​−x0​​e−rtxm​​

logistic模型的参数估计

1. 将logistic模型变形，对人口数据做数值微分后计算增长率，再利用线性最小二乘法估计。
   

   
   

   
   { d x d t x = r ( 1 − x x m ) x ( 0 ) = x 0 \left\{\begin{array}{rcl}\frac{\frac{dx}{dt}}{x} = r(1-\frac{x}{x_m})\ x(0) = x_0 \end{array}\right.\ {xdtdx​​=r(1−xm​x​)x(0)=x0​​

2. 直接利用原始数据和非线性最小二乘法估计。
   

   
   

两个模型比较

模型	优点	缺点
Malthus模型	短期预报比较准确	不适合中长期预报。 预报时假设人口增长率 r 为常数。 没有考虑环境对人口增长的制约作用。
Logistic模型	中期预报比较准确	理论上很好，实用性不强。 预报时假设固有人口增长率 r 以及最大人口容量 x m x_m xm​ 为定值。 实际上这两个参数（特别是 x m x_m xm​）很难确定，而且会随着社会发展情况变化而变化。