动态规划通过额外的空间将已经搜索过的相似的结果(指某些具有相同性质解的集合)用一个数组存起来,所以DP
中的状态转移
看上去是某两三个值之间的推导,其实是某两三个集合之间的状态转移!
- 01背包问题
- 完全背包问题
- 多重背包问题
- 分组背包问题
典型题例:
有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
示例 :
输入:第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
思路
代码:
朴素做法:
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <=n; i ++)
for (int j = 0; j <= m; j ++) {
f[i][j] = f[i - 1][j]; //所有不选i的集合(左边集合)
// 当前背包容量装不进第i个物品,则价值等于前i-1个物品
if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i -1][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
空间优化-等式变形
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = m; j >= v[i]; j --)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
完全背包问题
典型题例:
有 N 种物品和一个容量是 V 的背包,每种物品都有无限件可用。
第 i 种物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。
示例 :
输入:第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品种数和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 种物品的体积和价值。
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出:
10
思路
代码:
朴素做法
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];
int main(){
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = 1; j <= m; j ++){
f[i][j] = f[i -1][j]; //先算前1~i-1
if (j >= v[i])
f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - v[i]] + w[i]);
}
cout << f[n][m] << endl;
return 0;
}
优化
#include
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N];
int v[N], w[N];
int main(){
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i ++)
cin >> v[i] >> w[i];
for (int i = 1; i <= n; i ++)
for (int j = v[i]; j <= m; j ++)
f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
cout << f[m] << endl;
return 0;
}
传送门:动态规划- 背包问题总结(二)
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