高等数学多元函数微分学求最值问题

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《轻松学点微积分》书评

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书评缘起

去年5月份，笔者得到了科学出版社张中兴编辑（老师）的赠书《轻松学点微积分》。出于对书名的好奇心，笔者一口气就读完了这本图书，并且自认为读起来的确很“轻松”。微积分是大学理工科专业必学的一门科目，这样的课程也称为“高等数学”。所谓微积分，包含微分学和积分学，在处理很多现实的问题上起到了良好的作用。因此，学好微积分，对于理工科专业的同学来说非常必要。

毫无疑问，市面上显然有各类各样的介绍微积分方面的教材和科普书籍。那么，很自然的问题是，为什么本书的作者卓永鸿老师要写作这样一本“学起来轻松点”的微积分教材呢？

关于这个问题，作者曾在前言部分中发表了这样的观点：

“笔者深深觉得，许多人在微积分这门学科的表现之所以不够理想，往往并非天分不佳或学习态度不良，而是没有抓住微积分各主题中的核心精神，停留在抽象符号 *** 作，于是不得其门而入。”

的确，正如作者所说，当下很多微积分教材往往注重于数学符号与公式的简单罗列，而未能将微积分中一些定理较为直观地展现给读者。长久下来，很多人对微积分感到深恶痛绝，甚至于说一辈子都不想看到牛顿和莱布尼兹的求导符号。

然而，要解决这一问题并非那么容易的，本书作者正是借助自己对微积分“浅显易懂”的阐述方式来试图缓解这一糟糕状况。

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本书特点

细品本书，不难发现该书有如下几大特点：

（1）结合数学史介绍微积分

当下不少微积分教材主要在阐述数学结果本身，因此多是以“定义-定理-例题-习题”这样的模式展开介绍，很难吸引读者的阅读兴趣。本书的特点之一是穿插介绍数学史，通过数学史的介绍以达到数学学科与历史学科的有效融合。值得特别注意的是，本书的每一章节最开始部分都会放置数学家或者其他领域大家的一段名言，比如本书第二章“微分学”就有哲学家伏尔泰关于微积分的深刻观点：

“微积分是精确地计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术。”

尽管在很多人看来，数学家的名言名句并不能帮助自己理解那些看起来枯燥无味的数学公式，然而，需要引起格外关注的是，这些****的看法往往可以帮助自己较快地理解一门学科的本质内涵。当然，在这本书中，通过在每一章节前放上名言名句，可以有效地奠定本书的主题基调（没错，你就是在读一本微积分书籍！）。

除此之外，作者在本书中花了较大的笔墨阐述了一些关于微积分的数学史料，比如历史上的牛顿与莱布尼兹关于微积分的版权之争、最速降线问题、洛必达与伯努利的故事等。即便这些都是微积分里面的经典事实，然而作者却不落俗套，用自己独有的风趣幽默语言将这些陈年往事如数家珍，让笔者认为眼前正是有一位有趣的数学老师在教微积分史。此外，细读作者的文字可以感受到作者本人具有较为浓厚的台湾腔（比如书中第174页中间文字“其实这两种拼法在法文中是等价的，都可以啦！”），所以可以理解为是“台湾特色”的微积分史。

（2）详细展现解题思路以处理问题

微积分的本质还是微分学和积分学理论。其中，微分学部分中涉及到导数、可微等概念，当中涉及到的数学大定理包括有：费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。这些数学大定理也帮助了广大学习微积分的学友了解了国外的一批数学家：费马、拉格朗日和柯西等。积分学理论部分中主要涉及的是黎曼积分，其区别于数学系实变函数课程中的勒贝格积分。

数学理论的把握主要是在数学分析中体现，而本书的目的是轻松学点微积分，自然要以数学计算作为主要讲解目标。比如，如何计算一个函数的导数？如何计算一个函数的不定积分和定积分？如何计算一个二重和三重积分？诸如此类，这些都是微积分教学中要解决的关键问题，理论证明则要处于次要地位。

本书还有一个特点是：作者用自己的通俗语言和思维方式展现了解题的关键思路。

比如作者在证明函数极限问题时，一步步介绍如何运用数学技巧来达到最终目的，比如有的习题需要分子有理化，有的习题需要用到三角不等式。比如在书中例1412中，作者写下了这样一段话：

“接下来用一招，看清楚了，这叫三角不等式。”

不知道的读者还以为自己误入武侠小说之中，怎么还有招数一说？其实，数学圈本身也可以看做是一个小江湖，在这个江湖里做题用的招数也就是数学里面的武功秘籍。笔者曾经有一个不恰当的观点：“数学技巧犹如花拳绣腿，数学思想犹如内功心法”。如果用在这里，那么三角不等式的确算是一个招式，只不过是简单的花拳绣腿罢了。

（3）善于用图直观化数学概念

初翻本书，很难不被作者所制作的精美几何图象所吸引。在微积分中，形式化的符号运算难免让人们产生厌烦情绪，极少有人愿意一直与数学公式打交道。事实上，如果了解过生物学科的期刊论文，不难看出它们的文章都是“看图说话”的。数学其实本来也应该如此。据说数学家之间讨论学术问题往往是先画一个图，然后根据图再来补上相应的数学描述。

在这本书中，令人惊艳的图形自然是对二、三维几何图象的绘制。尤其是，在遇到二重积分与三重积分的问题时，如果有一个较为直观的几何图象帮助我们理解问题，那么就会达到化繁为简的目的。实际上，本书中所带有的插图何其多也，其所体现的直观理解数学概念的功效也自不必说。

巧用LaTex精心排版书籍

笔者初拿到该书不久，就对本书的排版感到赏心悦目。在惊讶作者的排版功底之余，本书的编辑张中兴老师告诉笔者：“作者卓永鸿老师是一位tex排版高手，是她目前所认识的第二个tex这么厉害的大佬人物。”此外，张老师也补充说道：“除了不能画图哗啦哗啦超级迅速外，基本上就是课堂笔记老师随讲随记的排版速度”。

笔者虽未见过卓永鸿老师，但是通过看这本书的排版以及张中兴老师的描述，断定所言肯定非虚（毕竟数学人严谨！）。

本书在LaTex排版方面的确是很见功力，非一般的LaTeX玩家可以与之相比。一个显著的事实是，作者在本书的解题过程部分中穿插了很多箭头，以及在各种定义、定理和性质部分的排版上别具一格。笔者认为，国内很多数学书籍的排版势必要向该书学习。

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写在最后

关于《轻松学点微积分》这本书，所罗列的特点仅是书中优点的一部分，其他优点有待读者自己去挖掘发现。关于本书的缺点之处，其中之一自然是本书没有继续介绍曲面积分和曲线积分理论。本书全书分为十二章，然而第12章仅介绍二、三重积分，因此在笔者看来这还不能完全满足想要学习微积分的同学。

笔者亦是一名数学系学生，写文评价数学老师的书籍多少有点不合适。因此，这里借用上海师范大学数学系陈跃老师曾告诫笔者的一句话结尾：

“读一本书要将自己想象成作者本人，如果是你来写你能写得出来吗？为什么要这样写？”

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编辑小语

小朱老师太自谦了，小朱老师是同济大学数学科学学院在读研究生，感谢他学习科研之余为“微积分小白书”倾情奉献的书评，下面把《轻松学点微积分》详细的书籍信息展现如下，献给喜欢微积分喜欢学习的你~

内容简介

轻松学点微积分

作者：卓永鸿

一本轻松有趣的微积分读物

适读人群 ：对微积分感兴趣、想要微积分入门的人，想增强数学素养的文科生，正在修课、准备考试而感到微积分学习有困难的同学，其他想要了解微积分的读者。

这是一本教读者微积分轻松入门的读物，也是一本轻松简单适合自学的书。《轻松学点微积分》语言轻松幽默，通过大量贴切具体的图形图像尽可能生动地介绍微积分各个主题概念的由来，将中学数学与高等数学完美衔接，中间穿插数学史还原数学思想的产生思路，还有常用的高等数学符号趣谈加深读者学习印象，了解微积分发展的来龙去脉。作者总结多年微积分教学经验，用尽可能浅显易懂的语言，总结学习方法、归纳实用规律，指出常见错误和学生学习盲点，提供详细的解题技巧，中间还穿插一题多解拓宽视野，助力读者轻松快乐地从更高角度掌握微积分具体知识点，让读者对微积分有比较清楚的认知。特别地，本书对中国古代数学和古代数学思想多有介绍，让读者在轻松入门微积分的过程中也能体会到中国古代先哲对数学的贡献。

本书目录

目录

第1章 极限与连续 1

11 微积分的起源 1

12 数列的极限 5

13 连续函数与函数的极限 16

14 极限的严格定义 30

141 极限的定义 30

142 用极限定义作证明 35

15 连续函数的性质 40

16 自然指数与自然对数 45

161 自然指数 45

162 自然对数 48

163 利用e的定义解极限 49

164 e之趣谈 52

17 等价无穷小代换 56

171 动机介绍 56

172 无穷小的分阶 57

173 等价无穷小代换 58

18 渐近线 63

181 水平渐近线 64

182 铅直渐近线 66

183 斜渐近线 67

第2章 微分学 73

21 导数的定义 73

22 导数的性质与幂函数的导函数 80

23 三角函数与指对数函数的导函数 91

24 高阶导数 96

25 链式法则 99

26 单侧导数 103

27 隐函数的求导 111

28 反函数的求导 117

29 取对数求导法 122

210 参数式求导 125

211 微分 131

第3章 微分学的应用 135

31 切线与法线 135

32 变率问题 140

33 函数的单调性与凹凸性 143

331 函数的单调性 143

332 函数的凹凸性 147

34 极值问题 153

341 一阶检定法 155

342 二阶检定法 157

35 绘制函数图形 160

36 微分中值定理 165

37 洛必达法则 170

371 洛必达法则的使用介绍 170

372 洛必达法则的误用探讨 176

第4章 积分学 181

41 积分的定义 181

42 积分的基本性质 191

43 微积分基本定理 196

431 微积分基本定理第一部分 196

432 微积分基本定理第二部分 200

44 不定积分 202

45 曲线间所围面积 206

第5章 积分技巧 211

51 分部积分 211

52 变量代换 217

521 第一换元法 217

522 第二换元法 223

53 三角代换 225

54 有理函数的积分：部分分式法 232

55 三角函数的积分 243

551 三角函数的幂次 243

552 含有sin(x)及cos(x)的有理式 252

553 巧妙的换元 254

56 反常积分 256

561 第一类反常积分(积分范围无界) 256

562 第二类反常积分(函数无界) 259

563 反常积分的敛散性 261

57 积分技巧杂谈 265

第6章 积分学的应用 276

61 曲线弧长 276

62 求体积 283

63 旋转体体积 287

631 圆盘法 287

632 剥壳法 291

64 旋转体的表面积 295

第7章 特殊函数 299

71 双曲函数 299

711 双曲函数的定义 299

712 双曲函数的基本公式 302

713 双曲函数的导函数 306

714 反双曲函数 306

715 反双曲函数的导函数 308

716 双曲函数在大一微积分中的应用 309

72 伽马函数 310

第8章 无穷级数 313

81 无穷级数的收敛与发散 313

82 积分审敛法 321

83 比较审敛法 326

84 比值审敛法与根值审敛法 331

85 交错级数审敛法 335

86 条件收敛与绝对收敛 341

87 幂级数 349

第9章 泰勒展开 356

91 泰勒展开：多项式逼近函数 356

911 泰勒展开式 356

912 间接展开法 360

92 多项式逼近的应用 368

93 泰勒定理与余项 373

94 幂级数的和函数 381

第10章 极坐标 390

101 极坐标简介 390

102 极坐标中的常见曲线 399

103 极坐标求面积 402

104 极坐标求弧长 409

第11章 多元函数的微分学 413

111 多元函数简介 413

112 多元函数的极限 416

113 偏导数 422

114 全微分 429

1141 通俗不严谨的讨论 429

1142 理论探讨 431

115 多元函数的链式法则 434

116 多元函数的隐函数求导 439

117 梯度、方向导数与切平面 443

1171 梯度的定义 443

1172 方向导数 443

1173 切平面 449

118 多元函数的极值问题 450

119 条件极值：拉格朗日乘数法 456

第12章 重积分 466

121 二重积分 466

122 三重积分 480

123 重积分的换元法 488

124 极坐标代换 499

125 圆柱坐标代换 504

126 球坐标代换 508

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例：目标函数35a+88b+43c+18d ，求最大值

约束条件:

45a+86b+25c+12d≤750

26a+45b+16c+10d>200

45a+86b≤450

a≥4

b≥2

5≤c，d≤8

多元函数求最值：

与一元函数相类似，对于有界闭区域上连续的二元函数，一定能在该区域上取得最大值和最小值．使函数取得最值的点既可能在的内部，也可能在的边界上。

若函数的最值在区域的内部取得，这个最值也是函数的极值，它必在函数的驻点或偏导数不存在的点处取得。

若函数的最值在区域的边界上取得，往往比较复杂，在实际应用中可根据问题的具体性质来判断。

在解决实际问题时，如果只有唯一一个最值点的可疑点，无需判别，这个唯一点即为要求的最值点。

三个正数项的和，当且只当此三项相等时，和有最小值。∴a＝b＝c＝2，此时f有最小值√3

三个正数项，当分母越小，分数值越大。

∴a→0,1／√﹙a＋1﹚→1,

b→0,1／√﹙b＋1﹚→1,

c→＋∞,1＋√﹙c＋1﹚→0,

∴f﹙a,b,c﹚→1+1+0=2

∴此函数小于2，无最大值。

x^2+y^2=1

c=x+y+1

2xdx+2ydy=0，xdx+ydy=0(条件)

dc=dx+dy=0(稳定点)

dx=x-y=dy=0

x=y=1/√2

周长最大值c0=1+√2

条件极值用全微分

记球内接长方体在第 1 卦限的顶点坐标是 (x, y, z )，x>0, y>0, z>0,

则长方体体积 V = 8xyz，

构造拉格朗日函数 L = 8xyz + k(x^2+y^2+z^2-r^2)

Lx = 0, 8yz + 2xk = 0

Ly = 0, 8xz + 2yk = 0

Lz = 0, 8yz + 2zk = 0

Lk = 0, x^2+y^2+z^2 = r^2

x, y, z 分别乘以前 3 个式子，再两两相减，得 x = y = z

代人第 4 式得 x = y = z = r/√3,

最大体积 V = 8r^3/(3√3)

题目解析很清楚，

拉格朗日乘数法，就是添加一个变量 λ，构造一个新的函数，对所有变量包括 λ 求偏导数，所有偏导数等于0的点就是稳定点，函数要取得极值，必须在稳定点上取得，如果有多个稳定点，对所有稳定点的值进行比较，才能求得最值，

构造的函数 F（x, y, z, λ）, 括号中明白无误是 4 个变量，而不是三个变量，

5：x+y=1，y=1-x z=xy=x（1-x）=x-x2，变成一元函数求极值。x=1/2有极大值1/4；或者： x2-x+z=0， Δ=（-1）2-4×1×z=1-4z≥0，z≤1/4；条件极值做法：条件φ（x，y）=x+y-1=0， z=f(x,y)=xy F(x,y；λ）=f(x,y)+λφ（x，y）=xy+λ(x+y-1) F'x=f'x+λφ'x=y+λ=0,y=-λ; F'y=f'y+λφ'y=x+λ=0,x=-λ; F'λ=φ（x，y）=x+y-1=0,-λ-λ-1=0,λ=-1/2,可能的极值点（1/2,1/2）； zmax=xy=1/4 对于条件极值，不应该用AC-B2的判别法。 A=F''xx=0,B=F''xy=1,C=F''yy=0,B2-AC=1>0,该判别法认为没有极值。 AC-B2的判别法适用于无条件极值。无条件时xy∈（-∞，+∞）,没有极值。