初等函数的麦克劳林公式

在麦克劳林公式中，误差|R𝗻(x)|是当x→0时比xⁿ高阶的无穷小。

若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和：Tauc公式:其中Rn是公式的余项。

麦克劳林，Maclaurin(1698-1746)，是18世纪英国最具有影响的数学家之一。

1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。

1742年撰写名著《流数论》，是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，

还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。

他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。

Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。

Maclaurin终生不忘牛顿Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。

基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈

当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数此时， 的 次方根用符号 表示式子 叫做根式(radical)，这里 叫做根指数(radical exponent)， 叫做被开方数(radicand)

当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次方根用符号 表示，负的 次方根用符号- 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0)由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作 。

注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，

2分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

1、0的正分数指数幂等于0，

2、0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂

3实数指数幂的运算性质

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数(exponential )，其中x是自变量，函数的定义域为R

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1

2、指数函数的图象和性质

1、a>1

2、0

3、向x、y轴正负方向无限延伸

4、函数的定义域为R

5、图象关于原点和y轴不对称

6、非奇非偶函数

7、函数图象都在x轴上方

8、函数的值域为R+

9、函数图象都过定点(0，1)

自左向右看，图象逐渐上升；

自左向右看，图象逐渐下降。

增函数；减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡；图象上升趋势是越来越缓

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

二、对数函数

(一)对数

1对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： ( — 底数， — 真数， — 对数式)

说明：

1 ）注意底数的限制 ，且 ;

2 ）注意对数的书写格式

2、两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数 ;

2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数

对数式与指数式的互化

对数式 指数式

对数底数 ← → 幂底数

对数 ← → 指数

真数 ← → 幂

(二)对数的运算性质

注意：换底公式

利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2)

(二)对数函数

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)

注意：

1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如： ， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数

2） 对数函数对底数的限制： ，且

2、对数函数的性质：

a>1

0

函数性质

1函数图象都在y轴右侧

2函数的定义域为(0，+∞)

3图象关于原点和y轴不对称

4非奇非偶函数

5向y轴正负方向无限延伸

6函数的值域为R

7函数图象都过定点(1，0)

自左向右看，图象逐渐上升

自左向右看，图象逐渐下降

增函数

减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0

第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

(三)幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数

2、幂函数性质归纳

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1);

(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂函数的图象下凸;当 时，幂函数的图象上凸;

(3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点

3、函数零点的求法：

求函数 的零点：

1 (代数法)求方程 的实数根;

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点

4、二次函数的零点：

二次函数

1)△>0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点

2)△=0，方程 有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点

3)△<0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点

三角函数和反三角函数

这是起源于几何学的最简单的超越函数。高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法,即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是sinx、cosx以及由它们导出的 和它们的定义如图1所示。sinx和cosx在 x=0处的泰勒展式为　(2)　(3)它们的收敛半径为。sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函数分别为 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或记为sin-1x、 cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),

初等函数图形

并称为反三角函数。指数函数和对数函数设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。其反函数y=logαx称为以α为底的对数函数(图3)。特别当α=e时称y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）为指数函数和对数函数。logx能由下面的积分式定义它表示由双曲线 、下由t轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。由此可知当x在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。它是x的增函数,导数。此外logx满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。

对数函数的反函数指数函数

ex是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且 e0=1。 ex的导数与它本身相同。此外ex满足乘法定理，即 。ex在x=0处的泰勒展式为。

双曲函数和反双曲函数

由指数函数经有理运算可导出双曲函

初等函数

数。其性质与三角函数很相似，并以 sinhx、coshx、tanhx、cothx、sechx、cosechx表示之，其定义如下：分别称为双曲正弦（图4）和双曲余弦（图5）。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切（图6）tanhx=sinhx/coshx，双曲余切（图7）cothx=coshx/sinhx等都称为双曲函数。它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M,又令O为原点,N=(1,0)，将ON,OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函数,并记为coshθ和sinhθ，即有表示式(5)。初等函数 初等函数 初等函数 初等函数　复变量初等函数定义域为复数域的初等函数。

有理函数、幂函数和根式函数

两个复系数的多项式之比为有理函数,它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数 是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w=zn，n 是自然数,

初等函数

它在全平面是解析的,且。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现共形映射（保角映射）。它将圆周丨z丨= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw=nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w=zn的单叶性区域。幂函数 w=zn的反函数为根式函数,它有n 个值,(k=0，1,…,n-1),称为它的分支。它们在任何区域θ1z <θ1+2π 中都单值解析而且将这个区域变为区域。它们的导数为。

指数函数和对数函数

在指数函数式(4)中将x换为复变量z,便得到复变量的指数函数w=ez,并且,显然有 (k为整数)。复指数函数有类似于实指数函数的性质：ez是一整函数且对任何复数z,ez≠0;它满足乘法定理:；ez以2kπi为周期，即；并且它的导数与本身相同，即 。函数w=ez在全平面实现共形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez的单叶性区域。例如,指数函数把直线x=x0变为圆周,把直线y=y0变为射线argw=y0，因而把区域Sk变为区域 0w <2π，把宽度为β的带形区域α0< α0+β(β≤2π)变为开度为β的角形域α0w<α0+β。对数函数w=Lnz是指数函数ez的反函数，它有无穷多个值2kπ)（k 为整数），称为它的分支。每一个分支在区域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的，且有。对数函数把这个区域单叶地变为带形区域θ0w <θ0+2π，也把开度为β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域θ0w <θ0+β。 特别(Lnz)0=Lnz是实对数函数 lnz在复数域上的推广。象实对数函数一样，它满足加法定理，即对任两个不为零的复数z1和z2。

泰勒公式证同阶无穷小：计算两个待比较的函数在某点x0的泰勒展开之比f(x)/g(x),若为非零常数,则证明为同解无穷小证明极限不存在：看拉格朗日余项在要研究的极限值附近是否有意义