常数对数和自然对数的应用

自然对数

当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2718281828

它用e表示

以e为底数的对数通常用于㏑

而且e还是一个超越数

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为271828……，是一个无限循环数。

、“自然律”之美

“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：

(1+1/x)^x

当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究

(1+1/x)^x

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=271828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=271828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。

e=271828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=271828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的d簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）

参考资料：

1《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》

旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为271828……，是一个无限循环数。

数，美吗？

1、数之美

人们很早就对数的美有深刻的认识。其中，公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解较为深刻。他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差别（如长短、高低、轻重等）都是由发音体数量方面的差别决定的。例如发音体（如琴弦）长，声音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低。因此，音乐的基本原则在于数量关系。

毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、雕刻等其它艺术，探求什么样的比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的规范。例如，在欧洲有长久影响的“黄金律”据说是他们发现的（有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律”。所谓黄金分割律“就是取一根线分为两部分，使长的那部分的平方等于短的那部分乘全线段。”“如果某物的长与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美’。”）。

这派学者还把数学与和谐的原则应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐”或“宇宙和谐”的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。他们还认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙”。人体之所以美，是由于它各部分——头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调。这些都是数的和谐。

中国古代思想家们也有类似的观点。道家的老子和周易《系辞传》，都曾尝试以数学解释宇宙生成，后来又衍为周易象数派。《周易》中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华丽之美，以及所谓“极其数，遂定天下之象”，都是类似数学推理的结论。儒家的荀卿也说过：“万物同宇宙而异体。无宜而有用为人，数也。”庄子把“小我”与“大我”一视同仁，“小年”与“大年”等量齐观，也略同于毕达哥拉斯学派之把“小宇宙”和“大宇宙”互相印证。所谓“得之于手而应用于心，口不能言，有数存在焉与其间”。这种从数的和谐看出美的思想，深深地影响了后世的中国美学。

2、黄金律之美

黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。我们知道，黄金律不仅是构图原则，也是自然事物的最佳状态。中世纪意大利数学家费勃奈舍发现，许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0618：1的近似值排列的，这即是著名的“费勃奈舍数列”：1、2、3、5、8、13、21、34……动物身上的色彩图案也大体符合黄金比。舞蹈教练、体 *** 专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比。

现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0618的近似值(129赫兹与8赫兹之比)时，人的心身最具快感。甚至，当大自然的气温（23摄氏度）与人的体温37摄氏度之比为0618:1时,最适宜于人的身心健康,最使人感到舒适。另外，数学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最佳比例、组织结构的最佳比例等等，也都大体符合黄金律。

然而，这并不意味着黄金律比“自然律”更具有美学意义。我们可以证明，当对数螺线：

φkρ=αe

的等比取黄金律，即k=00765872，等比P1/P2=0618时，则螺线中同一半径线上相邻极半径之比都有黄金分割关系。事实上，当函数f（X）等于e的X次方时，取X为04812,那么，f（X）=0618……

因此，黄金律被“自然律”逻辑所蕴含。换言之，“自然律”囊括了黄金律。

黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律”则表现了事物运动发展的普遍状态。因此，从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律”，“自然律”是运动着的黄金律。

3、“自然律”之美

“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：

1（1+——）

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究

1（1+——）

X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=271828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=271828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。

e=271828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=271828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的d簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）

2，尤拉的自然对数底公式

（大约等于271828的自然对数的底——e）

尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域（包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等）最多著作的学者。数学史上称十八世纪为“尤拉时代”。

尤拉出生于瑞士，31岁丧失了右眼的视力，59岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在13个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题。

尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于271828的自然对数的底，被他命名为e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所发明介绍的，例如：函数符号f（x）、π、e、∑、logx、sinx、cosx以及虚数i等。高中教师常用一则自然对数的底数e笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、我微分你。”也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是e的x次方。”

这个微分公式就是：e不论对x微分几次，结果都还是e！难怪数学系学生会用e比喻坚定不移的爱情！

相对于π是希腊文字中圆周第一个字母，e的由来较不为人熟知。有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数。

而尤拉选择e的理由较为人所接受的说法有二：一为在a，b，c，d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。

在实际应用中，指数函数的应用比较多一些。

在概率论中有一种分布是指数分布，其概率密度函数为

f(x)=λe^(-λ) x>0

0 x<=0

这种分布具有无记忆性，和寿命分布类似。 举个例子来说就是，一个人已经活了20岁和他还能再活20岁这两件事是没有关系的。因此指数分布也被戏称为“永远年轻”。另外正态分布也用到了指数函数，只不过表达式比较复杂，这在高中数学中也有涉及到。

在复变函数中，也经常用到指数形式表示一个负数。比如说1+i=根号2e^(πi/4)

这是根据著名的欧拉公式得到的：cosa+isina=e^(ai),当然复指数与实数范围内的指数有很多不同的地方，在复变函数中还会学深入的学到。

复指数在信号的频谱分析中还有很重要的应用，要研究一个周期信号的还有那些频率分量就要把它展开成若干个复指数函数的线性组合，这个过程叫傅里叶分解，是法国数学家、物理学家傅里叶（Fourier）发现的。学习电信类的相关专业会对信号的分析有一个系统的学习。

幂函数最重要的应用就是级数。不严谨的说，就是把一个函数展开成无穷项等比数列求和的形式，只不过每项都是关于x的幂函数，利用这个幂级数，可以把任意一个函数表示成多项式，方便近似计算。另外，刚才提到的傅里叶分解也就是把一个周期函数（信号）展开成傅里叶级数。如果函数是非周期的（即周期无限大）这个过程就叫做傅里叶变换。

哦啦。管不管用呀？

(x^a)'=ax^(a-1)

证明：y=x^a

两边取对数lny=alnx

两边对x求导(1/y)y'=a/x

所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)

y=a^x

两边同时取对数：

lny=xlna

两边同时对x求导数：

==>y'/y=lna

==>y'=ylna=a^xlna

幂函数：一般的，形如y=x(a为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。例如函数y=x y=x、y=x、y=x(注:y=x=1/x y=x时x≠0)等都是幂函数。当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续性的极为深刻的知识。

指数函数：是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。一般地，y=a^x函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。

二者好像没有什么联系呢。

反函数只不是映射的路径相反罢了。如现在一个函数y=f(x)根据这个函数表达了x 与y的关系，x是自变量，y是因变量。。。我们只要知道x的值，就可以很容易根据函数f的表达式，代入计算而得y值。。。而反函数，假如该反函数表示为g就是可以利用这个反函数，如果知道y值后，就可以代入这个反函数，而求出x值，x=g(y)

一、指数函数

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的写为ex，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2718281828，还称为欧拉数。

二、对数函数

对数公式是数学中的一种常见公式,如果a^x=N(a>0,且a≠1),则x叫做以a为底N的对数,记做x=log(a)(N),其中a要写于log右下。

三、幂函数

一般地，形如y=xα(α为实数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数。例如函数y=x0 、y=x1、y=x2、y=x-1(注：y=x-1=1/x y=x0时x≠0)等都是幂函数。

点组所表示的坐标与函数值之间的关系。曲线拟合可以帮助我们了解数据之间的内在联系，并能预测此类问题在其他离散点下的变化趋势。在实际的数据分析工作中，大多数需要拟合的曲线或曲面都是非线性的，所以常需要借助计算机程序来快速得到结果。

曲线拟合的应用场景非常丰富，几乎各行各业的统计分析中都会用到。图像处理中对各种线型拟合，机械工程中的振动与噪声数据，财务与销售数据预测，药物抑制剂计量诱导细胞变化数据，药物浓度与时间的关系，疾病疗效与疗程长短的关系，自然界物种的竞争数据等等，都会用到曲线拟合。此外，在结构有限元分析领域，各种非线性材料参数通常也是对测试数据进行参数拟合而得到。电磁分析中，磁芯损耗参数也是通过对功率损耗测试数据曲线拟合而来。

常见的曲线（方程）类型

这里介绍实际分析中常会遇到的曲线类型，包含线性与非线性的，我们知道 曲线拟合中的大部分模型都是非线性的 。WELSIM的CurveFitter工具基本都已经支持了这些曲线的拟合计算。

1 直线

直线y=A+Bx是曲线拟合中最简单的回归模型之一。x为自变量，y为因变量，A和B为需要拟合的参数。其主要目标是寻找数据集中、数据增长的大致方向。

2 多项式

多项式Y=A+B1x+B2x2+……+Bkxk是实际工程中常用到的模型。其中x为自变量，y为因变量，k为级数，常用级数为1～9。当级数为1时，多项式即为直线方程。当级数大于1时，模型表现出非线性。阶数越高越能描述复杂的曲线，然而高阶多项式需要更多的测试数据点才能得到较为精确的解，同时也会导致计算量的增加。实际分析中会根据数据源与目标问题选择合适的阶数。

3 对数

对数模型有一些不同的形式，大体上有半对数y = A lg(x) + B和全对数两类lg(y) = A lg(x) + B。x为自变量，y为因变量，A和B为需要拟合的参数。对数曲线形式常用于和浓度变化相关的模型。

4 幂函数

常见的幂函数有两种：y=Ax^B和y=Ax^B+C。x为自变量，y为因变量，A、B和C为需要拟合的参数。幂函数的应用广泛，学者们发现动物的静息代谢率就和其体重成幂函数关系，肿瘤的大小和变化率也成幂函数关系。

5 指数函数

常见的指数函数有：y=Ae^(Bx)和y=Ae^(Bx)+Ce^(Dx)。x为自变量，y为因变量，A、B、C和D为需要拟合的参数。人们发现营养与微量元素对人体健康会成指数关系。

6 正态分布

正态分布的种类较多，比较常见和基础的是高斯模型y=Ae^[-(x-B)^2/C^2]。x为自变量，y为因变量，A、B和C为需要拟合的参数。统计学中大量的使用正态分布模型，如儿童升高与身体密度的关系，学生的考试成绩分布等等。

7 S型曲线

常见的S型曲线有对称型和非对称形的，又称作4参数和5参数拟合回归方程。数学表达式分别为y=D+(A-D)/[1+(x/C)^B]和y=D+(A-D)/[1+(x/C)^B]^M，x为自变量，y为因变量，A、B、C、D和M为需要拟合的参数。S型曲线相对通用，曲线的形状根据情况, 可能是一个单调上升的类似指数, 对数, 或双曲线的曲线, 可能是一个单调下降的上述曲线, 也可以是一条 S 形曲线。它要求 x 值不能小于0 (因为指数是实数)。由于其多用性，也成为科研或工程中常用的曲线模型之一。

8 超d材料模型曲线

常见的超d模型曲线有Arruda-Boyce，Gent，Mooney-Rivlin，Neo-Hookean，Ogden，多项式(Polynomial)，和Yeoh。自变量和因变量分别是应变和应力。根据超d模型不同，各种曲线也会有所不同。在有限元分析中，由于超d材料的多样性，很难从手册中直接获得用于有限元分析的材料参数，而材料的力学测试数据往往能从实验中获得，可以通过对测试数据进行曲线拟合从而得到用于有限元分析的材料常数。由于输入的数据有多种测试类型，需要对多种状态下的应力应变关系式进行计算拟合。有兴趣的读者可以在WELSIM的曲线拟合手册中获得更详细的信息。

9 磁芯损耗模型曲线

电磁材料和设备大量的应用，使磁芯损耗问题也是一个热点。磁芯材料的损耗有一些经典的模型如电力钢的p=KffBm^2+Kc(fBm)^2+Ke(fBm)^15，还有用于功率铁电的p=Cmf^XBm^Y，

其中Bm为自变量，p为因变量，f为输入常数（电磁频率），Kf、Kc、Ke和Cm、X、Y是要拟合的参数。后者又称为著名的Steinmetz模型。和超d曲线拟合类似，磁芯损耗曲线的数据往往含有不同的工作频率，需要对每条频率下的曲线同时进行拟合得到参数。

曲线拟合工具CurveFitter

虽然曲线拟合在各行各业都有广泛的应用，但是还没有简单好用且免费的曲线拟合工具软件。有限元软件WELSIM最近发布一款免费的曲线拟合工具CurveFitter，作为一款专门用于曲线拟合的工具软件，CurveFitter不仅能拟合超d材料模型和磁芯损耗模型的参数，也具有许多通用领域所用的曲线模型，可用于更为广泛的科学与工程计算。

CurveFitter的使用步骤如下：

1 选择需要进行拟合的曲线方程

2 编辑添加表格数据，或者直接导入数据。

3 在曲线窗口中检查输入的测试数据

4 点击检查按钮可以检查测试数据（可选）。d出对话框会提示数据状态。

5 点击求解按钮进行曲线拟合数值计算。如果求解成功，参数栏会自动显示拟合好的数值，曲线窗口会显示拟合好的曲线。

6 至此曲线拟合计算已经完成。如果常查看不同参数下曲线的形态。可以调节参数栏的数值并点击更新按钮。

注意事项

在曲线拟合时，最好依据曲线的形状来选择函数模型。由于所选的拟合函数不同，会产生不同的拟合效果，需要我们按最优原则来选择最佳拟合函数。同时，给定数据点的多少和数据点的范围对曲线拟合也会产生影响。由于拟合数据存在误差，需要检验拟合好后的曲线与参数。尽量能将模型误差和测量误差对曲线拟合的影响减至最小。

最后，送上 *** 作视频，供大家参考。