有关卡诺循环的问题

卡诺循环(Carnot cycle)
理想气体从状态1（P1，V1，T1）等温膨胀到状态2（P2，V2，T2），再从状态2绝热膨胀到状态3（P3，V3，T3），此后，从状态3等温压缩到状态4（P4，V4，T4），最后从状态4绝热压缩回到状态1。这种由两个等温过程和两个绝热过程所构成的循环成为卡诺循环。卡诺循环可以想象为是工作与两个恒温热源之间的准静态过程，其高温热源的温度为T1，低温热源的温度为T2。这一概念是1824年NLS卡诺在对热机的最大可能效 率问题作理论研究时提出的。卡诺假设工作物质只与两个恒温热源交换热量，没有散热、漏气、擦等损耗。为使过程是准静态过程，工作物质从高温热源吸热应是无温度差的等温膨胀过程，同样，向低温热源放热应是等温压缩过程。因限制只与两热源交换热量，脱离热源后只能是绝热过程。作卡诺循环的热机叫做卡诺热机。
通过热力学相关定理我们可以得出，卡诺循环的效率ηc＝1-T2/T1，由此可以看出，卡诺循环的效率只与两个热源的热力学温度有关，如果高温热源的温度T1愈高，低温热源的温度T2愈低，则卡诺循环的效率愈高。因为不能获得T1→∞的高温热源或T2=0K（-273℃）的低温热源，所以，卡诺循环的效率必定小于1。
可以证明，以任何工作物质作卡诺循环，其效率都一致；还可以证明，所有实际循环的效率都低于同样条件下卡诺循环的效率，也就是说，如果高温热源和低温热源的温度确定之后卡诺循环的效率是在它们之间工作的一切热机的最高效率界限。因此，提高热机的效率，应努力提高高温热源的温度和降低低温热源的温度，低温热源通常是周围环境，降低环境的温度难度大、成本高，是不足取的办法。现代热电厂尽量提高水蒸气的温度，使用过热蒸汽推动汽轮机，正是基于这个道理。
卡诺定理阐明了热机效率的限制，指出了提高热机效率的方向（提高T1，降低T2，减少散热。、漏气。、摩擦等不可逆损耗，使循环尽量接近卡诺循环）。成为热机研究的理论依据。热机效率的限制。实际热力学过程的不可逆性及其间联系的研究，导致热力学第二定律的建立。在卡诺定理基础上建立的与测温物质及测温属性无关的绝对热力学温标，使温度测量建立在客观的基础之上。此外，应用卡诺循环和卡诺定理，还可以研究表面张力、饱和蒸气压与温度的关系及可逆电池的电动势等。还应强调，卡诺这种撇开具体装置和具体工作物质的抽象而普遍的理论研究，已经贯穿在整个热力学的研究之中。

以理想气体为工作物质的可逆卡诺循环，其热效率仅取决于高温及低温两个热源的温度。以热力学第二定律为基础，可以将之推广为适用于任意可逆循环的普遍结论，称为“卡诺定理”。卡诺定理在导出热力学第二定律的普遍判据--状态函数 "S"--中具有重要作用。 热力学第二定律否定了第二类永动机，效率为1的热机是不可能实现的，那么热机的最高效率可以达到多少呢？从热力学第二定律推出的卡诺定理正是解决了这一问题。卡诺认为：“所有工作于同温热源与同温冷源之间的热机，其效率都不能超过可逆机” ，这就是卡诺定理。
在两个热源之间，有可逆机R（即卡诺机）和任意的热机I在工作（图22）。调节两个热机使所作的功相等。可逆机及从高温热源吸热Ql，作功W，放热（Ql-W）到低温热源，其热机效率为 ηk = W/QI（图中所示是可逆机R倒开的结果）。
另一任意热机I，从高温热源吸热Q1’，作功W，放热（Q1’-W）到低温热源，其效率为
ηI = W/Q1’
先假设热机I的效率大于可逆机R（这个假设是否合理，要从根据这个假定所得的结论是否合理来检验）。即
ηI > ηk，
因此得
Ql > Q1’
今若以热机I带动卡诺可逆机R，使R逆向转动，卡诺机成为制冷机，所需的功W由热机I供给，如图22所示：及从低温热源吸热（Ql-W），并放热Ql到高温热源。整个复合机循环一周后，在两机中工作的物质均恢复原态，最后除热源有热量交换外，无其它变化。
从低温热源吸热：
（Ql - W) - (Q1’ - W) = Ql-Q1’ > 0
高温热源得到的热：
Ql-Q1’
净的结果是热从低温传到高温而没有发生其它的变化。这违反热力学第二定律的克劳修斯说法。所以最初的假设ηI>；ηk不能成立。因此应有
ηI≤ηk (21)
这就证明了卡诺定理。
根据卡诺定理，可以得到如下的推论：“所有工作于同温热源与同温冷源间的可逆机，其热机效率都相等”。可证明如下：假设两个可逆机Rl和R2，在同温热源与同温冷源间工作。若以Rl带动Rl，使其逆转，则由式（21）知
ηR1≤ηR2 (22)
反之，若以R2带动Rl，使其逆转，则有
ηR1≥ηR2 (23)
因此，若要同时满足式（22）和（23），则应有
ηR1=ηR2 (24)
由此得知，不论参与卡诺循环的工作物质是什么，只要是可逆机，在两个温度相同的低温热源和高温热源之间工作时，热机效率都相等，即任意热机I是可逆机时，式（21）用等号，I是不可逆机时用不等号。在上述证明中，并不涉及工作物质的本性，因而与工作物质的本性无关。在明确了ηR与工作物质的本性无关后，我们就可以引用理想气体卡诺循环的结果了。

循环是热力学中最理想的一种可逆循环。它以理想气体为工作物质，由两个等温过程和两个绝热过程所组成。这种循环过程是法国物理学家、工程师卡诺于1824年提出的。
(2)说明
①在整个循环过程中，理想气体经过一系列的状态变化以后，其内能不变，但要作功，并有热量交换。循环分为四个过程进行。在p-V图上用两条等温线和两条绝热线表示(如图)。图中曲线AB和CD是温度为T1和T2的两条等温线，曲线BC和DA是两条绝热线。我们讨论按p-V图上顺时针方向沿封闭曲线ABCDA进行的循环。(这种循环叫做正循界工作物质作正循环的机器叫做热机，它是把热转变为功的一种机器。)
第一过程：A→B，等温膨胀，Q1=EB-EA+w1；
第二过程：B→C，绝热膨胀，O=Ec-EB+W2；
第三过程：C→D等温压缩，-Q2=ED-EC-W3；
第四过程：D→A，绝热压缩，O=EA-ED-W4
把上面四式相加得 Q1-Q2=W1+W2-W3-W4=W0
式中Q是从高温热源吸收的热量，Q2是向低温热源放出的热量，W是理想气体(工作物质)对外所作的净功，在数值上等于p-V图上封闭曲线所包围的面积。
Q1-Q2=W。
上式表示，理想气体经过一个正循环，从高温热源吸收的热量Q1，一部分用于对外作功，另一部分则向低温热源放出(如图)。即热量Q1不能全部转换为功W，转换为功的只是Q1-Q2。通常把热机的热效率表示为ηt=W/ Q1=( Q1-Q2) / Q1=1- Q1/ Q2
由于Q2不可能等于零，所以热机热效率总是小于l，ηt常用百分比表示。
②卡诺从理论上进一步证明，在卡诺循环中，
等温膨胀时吸收的热量Ql=nRTl 1nV2/V1 (1)
等温压缩时放出的热量Q2=nRT2lnV3/V4， (2)
由绝热方程式TVγ-1=常量，可得T1 TV2γ-1= T2 TV3γ-1 (3)
T1 TV1γ-1= T2 TV4γ-1 (4)
式中的T表示高温热源的绝对温度，T表示低温热源的绝对温度。
公式表明：一切热机要完成一次循环，都必须有高温和低温两个热源。热机的热效率只和两个热源的温度有关，和工作物质无关。两个热源的温差愈大，热效率愈高，也就是从热源所吸收的热量的利用率愈大。要提高热效率必须提高高温热源的温度，或降低低温热源的温度。一般采取前者。公式为人们指出了一条提高热机效率的途径。
③卡诺循环也可以按p-V图的逆时针方向沿封闭曲线ADCBA进行，这种循环，叫做逆循环。在这个逆循环中，外界必须对这个从低温热源吸取热量的系统作功，只要将逆循环重复下去，就可以从低温热源中取出任意数量的热量。作逆循环的机器叫致冷机，它是利用外界作功获得低温的机器。
逆卡诺循环
它由两个等温过程和两个绝热过程组成。假设低温热源（即被冷却物体）的温度为T0，高温热源（即环境介质）的温度为Tk, 则工质的温度
在 吸热过程中为T0， 在放热过程中为Tk, 就是说在吸热和放热过程中工质与冷源及高温热源之间没有温差，即传热是在等温下进行的，压缩和膨胀过程是在没有任何损失情况下进行的。其循环过程为：
首先工质在T0下从冷源（即被冷却物体）吸取热量q0，并进行等温膨胀4-1，然后通过绝热压缩1-2，使其温度由T0升高至环境介质的温度Tk, 再在Tk下进行等温压缩2-3，并向环境介质（即高温热源）放出热量qk, 最后再进行绝热膨胀3-4，使其温度由Tk 降至T0即使工质回到初始状态4，从而完成一个循环。
对于逆卡诺循环来说，由图可知：
q0=T0(S1-S4）
qk=Tk(S2-S3)=Tk(S1-S4）
w0=qk-q0=Tk(S1-S4)-T0(S1-S4)=(Tk-T0)(S1-S4）
则逆卡诺循环制冷系数εk 为：
由上式可见，逆卡诺循环的制冷系数与工质的性质无关，只取决于冷源（即被冷却物体）的温度 T0 和热源（即环境介质）的温度 Tk；降低 Tk，提高 T0 ，均可提高制冷系数。此外，由热力学第二定律还可以证明：“在给定的冷源和热源温度范围内工作的逆循环，以逆卡诺循环的制冷系数为最高”。任何实际制冷循环的制冷系数都小于逆卡诺循环的制冷系数。
总上所述，理想制冷循环应为逆卡诺循环。而实际上逆卡诺循环是无法实现的，但它可以用作评价实际制冷循环完善程度的指标。通常将工作于相同温度间的实际制冷循环的制冷系数ε与逆卡诺循环制冷系数εk之比，称为该制冷机循环的热力完善度，用符号η表示。即： η=ε/εk
热力完善度是用来表示制冷机循环接近逆卡诺循环循环的程度。它也是制冷循环的一个技术经济指标，但它与制冷系数的意义不同，对于工作温度不同的制冷机循环无法按其制冷系数的大小来比较循环的经济性好坏，而只能根据循环的热力完善度的大小来判断。

卡诺定理是卡诺1824年提出来的，其表述如下：
（1）在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关。
（2）在相同的高温热源和相同的低温热源之间工作的一切不可逆热机，其效率都小于可逆热机的效率。
§23 卡诺定理
热力学第二定律否定了第二类永动机，效率为1的热机是不可能实现的，那么热机的最高效率可以达到多少呢从热力学第二定律推出的卡诺定理正是解决了这一问题。卡诺认为：“所有工作于同温热源与同温冷源之间的热机，其效率都不能超过可逆机” (换言之，即可逆机的效率最大)。这就是卡诺定理。
设在两个热源之间，有可逆机R(即卡诺机)和任意的热机I在工作(图22)。调节两个热机使所作的功相等。可逆机及从高温热源吸热Ql，作功W，放热(Ql-W)到低温热源，其热机效率为 ηk = W/Q1(图中所示是可逆机R倒开的结果)。
另一任意热机I，从高温热源吸热Q1’，作功W，放热(Q1’-W)到低温热源，其效率为
ηI = W/Q1’
先假设热机I的效率大于可逆机R(这个假设是否合理，要从根据这个假定所得的结论是否合理来检验)。即
ηI>ηk，
因此得
Ql > Q1’
今若以热机I带动卡诺可逆机R，使R逆向转动，卡诺机成为致冷机，所需的功W由热机I供给，如图22所示：及从低温热源吸热(Ql-W)，并放热Ql到高温热源。整个复合机循环一周后，在两机中工作的物质均恢复原态，最后除热源有热量交换外，无其它变化。
从低温热源吸热：
(Ql - W) - (Q1’ - W) = Ql-Q1’ > 0
高温热源得到的热：
Ql-Q1’
净的结果是热从低温传到高温而没有发生其它的变化。这违反热力学第二定律的克劳修斯说法。所以最初的假设ηI>ηk不能成立。因此应有
ηI≤ηk (21)
这就证明了卡诺定理。
根据卡诺定理，可以得到如下的推论：“所有工作于同温热源与同温冷源间的可逆机，其热机效率都相等”。可证明如下：假设两个可逆机Rl和R2，在同温热源与同温冷源间工作。若以Rl带动Rl，使其逆转，则由式(21)知
ηR1≤ηR2 (22)
反之，若以R2带动Rl，使其逆转，则有
ηR1≥ηR2 (23)
因此，若要同时满足式(22)和(23)，则应有
ηR1=ηR2 (24)
由此得知，不论参与卡诺循环的工作物质是什么，只要是可逆机，在两个温度相同的低温热源和高温热源之间工作时，热机效率都相等，即任意热机I是可逆机时，式(21)用等号，I是不可逆机时用不等号。在上述证明中，并不涉及工作物质的本性，因而与工作物质的本性无关。在明确了ηR与工作物质的本性无关后，我们就可以引用理想气体卡诺循环的结果了。
卡诺定理虽然讨论的是可逆机与不可逆机的热机效率问题，但它具有非常重大的意义。它在公式中引入了一个不等号。前已述及所有的不可逆过程是互相关联的。由一个过程的不可逆性可以推断到另一个过程的不可逆性，因而对所有的不可逆过程就可以找到一个共同的判别准则。由于热功交换的不可逆，而在公式中所引入的不等号，这对于其它过程(包括化学过程)同样可以使用。就是这个不等号解决了化学反应的方向问题。同时，卡诺定理在原则上也解决了热机效率的极限值问题。
、卡诺循环的构成
热力学第二定律指出，热机的热效率不可能达到100％。那么，在一定条件下，热机的热效率最大能达到多少？它又与哪些因素有关？法国工程师卡诺（S Carnot）在深入考察了蒸汽机工作的基础上，于1824年提出了一种理想的热机工作循环—卡诺循环。
设一热机中有一定量的工质，工作在温度分别为T1和T2的两恒温热源间。卡诺循环由两个可逆的定温过程和两个可逆的绝热过程（定熵）组成（见动画4-8）。
动画 4-8 卡诺循环
四个过程的顺序如下：
定温膨胀过程a-b：工质在定温T1下，从高温热源吸热Q1并作膨胀功Wo。
定熵膨胀过程b-c：工质在可逆绝热条件下膨胀，温度由T1降到T2。
定温压缩过程c-d：工质在定温T1下被压缩，过程中将热量Q2传给低温热源。
定熵压缩过程d-a；工质在可逆绝热条件下被压缩，温度由T2升高至T1，过程终了时，工质的状态回复到循环开始的状态a。
三、逆卡诺循环
如果沿卡诺循环相反的方向进行，就形成卡诺制冷循环和卡诺热泵循环（见动画4-9）。
动画 4-8 逆卡诺循环
对于卡诺制冷循环，工质可逆定温从温度为T2冷库吸热，被可逆绝热压缩后，可逆定温向温度为T1环境介质放热，最后可逆绝热膨胀，进入冷库，完成循环。其制冷系数
对于卡诺热泵循环，工质可逆定温从低温热源T2，如环境介质吸热，被可逆绝热压缩后，可逆定温向高温热源T1，如建筑物室内放热，最后可逆绝热膨胀，完成循环。其供暖系数或热泵工作性能系数
应当指出，逆卡诺循环虽然实际上不能实现,但却为提高制冷机和热泵的完善程度指明了方向,仍具有重要的理论意义。
四、卡诺定理
以理想气体为工质的卡诺循环,已导出其热效率。如果是其他工质完成的卡诺循环,或是两恒温热源间工作的其他热机,其热效率又如何呢卡诺定理指出:
在相同的高温热源和低温热源之间工作的一切可逆循环,其热效率都相等,与其工质无关。
在相同的高温热源和低温热源之间工作的一切不可逆热机,其热效率不可能大于可逆循环的热效率
(a)
(b)
图 4-2 卡诺定理证明用图
下面用反证法对第一定理进行证明：假设在温度为T1的高温热源与温度为T2的低温热源间工作有两个任意的可逆热机R1和R2，如图4－2(a)所示，其热效率分别为和 。假如，则当两个热机从高温热源吸取的热量都为Q1时，根据热效率的定义可知， ， 。这时可让热机R1按正向循环工作，用输出功中的一部分 带动热机R2逆向循环工作，如图4－2(b)所示。联合运行的结果是每一循环从低温热源吸收热量，对外作功，高温热源没有任何变化，相当于一台单一热源的第二类永动机。这显然违背了热力学第二定律，因此是不可能的。同样可以证明，也是不可能的。于是只有一种可能性，即。由于上述证明没有限定工质的性质，所以结论对使用任何工质的可逆热机都适用。定理二可以同样采用反证法证明，思路与定理一的证明相同。

影响卡诺循环热效率的因素有：提高Th，降低Tc，减少散热、漏气、摩擦等不可逆损耗，使循环尽量接近卡诺循环。

卡诺定理阐明了热机效率的限制，指出了提高热机效率的方向。成为热机研究的理论依据、热机效率的限制。实际热力学过程的不可逆性及其间联系的研究，导致热力学第二定律的建立。在卡诺定理基础上建立的卡诺循环与测温物质及测温属性无关的绝对热力学温标，使温度测量建立在客观的基础之上。

此外，应用卡诺循环和卡诺定理，还可以研究表面张力、饱和蒸气压与温度的关系及可逆电池的电动势等。还应强调，卡诺这种撇开具体装置和具体工作物质的抽象而普遍的理论研究，已经贯穿在整个热力学的研究之中。

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卡诺循环是由法国工程师尼古拉·莱昂纳尔·萨迪·卡诺于1824年提出的，以分析热机的工作过程，卡诺循环包括四个步骤：等温吸热， 绝热膨胀，等温放热，绝热压缩。即理想气体从状态1（P1，V1，T1）等温吸热到状态2（P2，V2，T2）。

再从状态2绝热膨胀到状态3（P3，V3，T3），此后，从状态3等温放热到状态4（P4，V4，T4），最后从状态4绝热压缩回到状态1。这种由两个等温过程和两个绝热过程所构成的循环称为卡诺循环。

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