傅里叶级数和函数的求法

傅里叶级数的三角函数形式。设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为t，频率和角频率分别为f，ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。

一．傅里叶级数的三角函数形式

设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为t，频率和角频率分别为f,ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即，其中a0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。a1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，a1，ψ1分别为其振幅和初相角；a2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，a2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。

上式有可改写为如下形式，即

当a0，an,ψn求得后，代入式(10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。

把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。

从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有a-n=an，b-n=-bn，a-n=an，ψ-n=-ψn。

即an和an是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。

二．傅里叶级数的复指数形式