关于外尔斯特拉斯－斯通定理介绍

[拼音]：Wai’ersitelasi-Sitong dingli

[外文]：Weierstrass-Stone theorem

函数逼近论中的基本定理。外尔斯特拉斯定理是关于实变函数逼近的定理，它本身包含两个结论：外尔斯特拉斯第一定理和外尔斯特拉斯第二定理。它们是相互独立的，但又有联系，都是1885年由K.外尔斯特拉斯所得到的。斯通定理是外尔斯特拉斯定理在抽象空间中的推广。这个定理还可以推广到用抽象元素的线性组合及其乘积来实现逼近。由斯通定理可以得到很多具体的逼近定理。

外尔斯特拉斯第一定理 对于任意一个在闭区间[α，b)]上的连续函数ƒ(x)，存在多项式序列{pn(x)}，它在[α，b)]上一致收敛到ƒ(x)。

外尔斯特拉斯第二定理 对于任意一个在实轴上以2π为周期的连续函数g(x)，存在三角多项式序列{Tn(x)}，它在实轴上一致收敛到g(x)。

这两个定理中的多项式序列 {pn(x)}和三角多项式序列{Tn(x)}都是可以直接构造出来的。这样一来，较为复杂的函数（如连续函数）就可以在所讨论的区间上用较为简单的函数（如多项式或三角多项式）近似地表达出来了，这在实用上就提供了很大的方便。进一步还可以研究多项式序列{pn(x)}(或三角多项式序列{Tn(x)})趋向于ƒ(x)（或g(x)）的速度，这就是最佳逼近值的阶的估计。人们还研究其他函数系（如有理函数、广义多项式、分段多项式等）的逼近问题。这些结果在Lp空间中也成立，其中0<p<+∞。

斯通定理 1937年，斯通在抽象空间中研究了逼近定理。设A是某个度量空间中的集合，它至少含有两个不同的元素，且成立有限覆盖定理（或是紧的豪斯多夫拓扑空间）。设G是A上的连续函数集合，它构成线性空间且是环。此外，G还具有性质：对于A中任意两个不同的元素x1，x2，在G中存在函数p(x)，使p(x1)≠p(x2)，则对于A上的任意连续函数ƒ(x)，在G中存在函数序列{Qn(x)}，它在A上一致收敛到ƒ(x)。

由斯通定理，可以推出多维空间中的外尔斯特拉斯定理，以及在实轴上用有理函数来逼近在实轴上连续且存在的函数ƒ(x)的定理等。

这些定理在复平面上还有各种推广。