锥面

先明确流形的定义：如果 Hausdorff 空间 M 中的任何一点 p 都存在 p 的一个邻域 U 与 n 维欧式空间 Rⁿ 的一个开集 拓扑同胚，则称 M 为 n 维（拓扑）流形。

所谓 “锥面不是二维流形”，这里的锥面指的就是二次锥面，方程为：z² = x² +ｙ²图形如下：二次锥面不是流形的原因是出在原点 O 上。

假设 O 的某个邻域 U 和 R² 的一个开集 V 之间存在拓扑同胚 ψ：U → V。

因为 O 点 和 ψ(O) 一一对应，于是分别从ψ 的 定义域 和 值域 中去掉这对对应点，得到的 ψ' : U {O} → V {ψ(O)} 依然是拓扑同胚。

另一方面，XOY 坐标平面将 U {O} 分割为上下两个不同的连通分支，而我们知道 在 R² 中任意去掉一个点，剩下的任然是单连通的，故 V {ψ(O)} 只有一个连通分支。

这就说明 U {O} 和 V {ψ(O)} 在连通性上不一致。

而拓扑同胚必须保证连通性一致，也就是说，连通性不一致的拓扑空间之间不可能存在拓扑同胚。

矛盾。

如果我们将 原点 O 从二次锥面中去掉，则 剩下的部分是 二维流形，另外，分别去除 二次锥面 在 XOY 坐标平面的 上部 或 下部，剩下的部分也都是二维流形。

题主图片给出的那个圆锥形纸杯，在拓扑学中称为几何锥，定义如下（其中 I = [0, 1])：设 X ⊆ Rⁿ，a ∈ Rⁿ⁺¹ Rⁿ，令 aX = { ta + (t-1)x | t ∈ I, x ∈ X }，则称 aX 为以 X 为底边，以 a 为顶点的 几何锥。

更广泛的是拓扑锥，定义如下：设 X 是拓扑空间，则 称商空间 CX = (X × I) / (X × {1}) 为 拓扑锥。

可证明：当 X 是 Rⁿ 的紧致子集时，CX ≌ aX；这时，几何锥和拓扑锥是二维流形。