调和级数

调和级数 什么是调和级数？它发散吗？为什么？什么叫调和级数

调和级数定义：调和级数是一个发散的无穷级数，这个级数名字源于泛音及泛音列一条振动的弦的泛音的波长依次是基本波长的二分之一、三分之一等等。

调和序列中，第一项之后的每一项都是相邻两项的调和平均数；而“调和平均数”一词同样地也是源自音乐。

很早就有数学家研究，比如中世纪后期的数学家在1360年就证明了这个级数是发散的。

后一个级数每一项对应的分数都小于调和级数中每一项，而且后面级数的括号中的数值和都为二分之一，这样的二分之一有无穷多个，所以后一个级数是趋向无穷大的，进而调和级数也是发散的。

从更广泛的意义上讲，如果An是全部不为0的等差数列，则An的倒数就称为调和数列，求和所得即为调和级数，易得，所有调和级数都是发散于无穷的。

什么叫调和级数将调和级数的分母提升至n次幂是否仍然发散？

答：都是收敛的！对于调和级数的扩展级数∑1/n^（1+ε），当ε>1时，∑1/n^（1+ε）收敛！这是一个很有趣的性质，调和级数∑1/n发散，但是把n的指数扩大，哪怕扩大一点点，都会导致级数收敛。

其实，这就是黎曼zata函数的一部分：对于黎曼zata函数，z>1时都是收敛的，其中z取复数也成立。

如果自变量取实数，那么级数的结果为：其中C（ε）是一个与ε有关的常数，从结果我们可以看出：（1）ε>0时，级数∑1/n^（1+ε）收敛；（2）ε=0时，就是调和级数发散，此时的C（ε），其实就是欧拉常数γ；对于特殊的结果，比如ε为奇数时，级数的值是有通用表达式的，最早由大数学家欧拉给出：其中，B为伯努利数，当n=1时，B2=1/6，即是巴塞尔级数：好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！