什么是数学

什么是数学 (R·柯朗 H·罗宾 著)

第1章 自然数

　　引言

　　$1 整数的计算

　　　　1. 算术的规律

　　　　2. 整数的表示

　　　　3. 非十进位制中的计算

　　$2 数学的无限性 数学归纳法

　　　　1. 数学归纳法原理

　　　　2. 等差级数

　　　　3. 等比级数

　　　　4. 前n项平方和

　　　　*5. 一个重要的不等式

　　　　*6. 二项式定理

　　　　*7. 再谈数学归纳法

第1章补充 数论

　　引言

　　$1 素数

　　　　1. 基本事实

　　　　2. 素数的分布

　　$2 同余

　　　　1. 一般概念

　　　　2. 费马定理

　　　　3. 二次剩余

　　$3 毕达哥拉斯和费马大定理

　　$4 欧几里得辗转相除法

　　　　1. 一般理论

　　　　2. 在算术基本定理上的应用

　　　　3. 欧拉函数φ 再谈费马定理

　　　　4. 连分数 丢番都方程

第2章 数学中的数系

　　引言

　　$1 有理数

　　　　1. 作为度量工具的有理数

　　　　2. 数学内部对有理数的需要 推广的原则

　　　　3. 有理数的几何解释

　　$2 不可公度线段 无理数和极限概念

　　　　1. 引言

　　　　2. 十进位小数 无限小数

　　　　3. 极限 无穷等比级数

　　　　4. 有理数和循环小数

　　　　5. 用区间套给出无理数的一般定义

　　　　*6. 定义无理数的另一个方法 戴特金分割

　　$3 解析几何 概述

　　　　1. 基本原理

　　　　*2. 直线方程和曲线方程

　　$4 无限的数学分析

　　　　1. 基本概念

　　　　2. 有理数的可数性和连续统的不可数性

　　　　3. 康托的"基数"

　　　　4. 反证法

　　　　5. 有关无限的悖论

　　　　6. 数学的基础

　　$5 复数

　　　　1. 复数的起源

　　　　2. 复数的几何解释

　　　　3. 棣莫弗公式和单位根

　　　　*4. 代数基本定理

　　*$6.代数数和超越数

　　　　1. 定义和存在性

　　　　**2. 柳维尔定理和超越数的构造

第2章补充 集合代数

　　1. 一般理论

　　2. 在数理逻辑中的应用

　　3. 在概率论中的一个应用

第3章 几何作图 数域的代数

　　引言

　　第1部分 不可能性的证明和代数

　　　　$1 基本几何作图

　　　　　　1. 域的构作和开平方根

　　　　　　2. 正多边形

　　　　　　*3. 阿波罗尼斯问题

　　　　*$2 可作图的数和数论

　　　　　　1. 一般理论

　　　　　　2. 可作图的数都是代数数

　　　　*$3 三个不可解的希腊问题

　　　　　　1. 倍立方体问题

　　　　　　2. 关于三次方程的一个定理

　　　　　　3. 三等分任意角

　　　　　　4. 正七变形

　　　　　　5. 关于化圆为方的问题

　　第2部分 作图的各种方法

　　　　$4 几何变换 反演

　　　　　　1. 一般说明

　　　　　　2. 反演的性质

　　　　　　3. 反演点的几何作图

　　　　　　4. 只用圆规如何二等分一线段及求圆心

　　　　$5 用其他工具作图 只用圆规的马歇罗尼作图

　　　　　　*1. 倍立方体的古典作图

　　　　　　2. 只限于用圆规

　　　　　　3. 用机械工具作图 机械曲线 旋轮线

　　　　　　*4. 连杆 波西里叶和哈特的反演器

　　　　$6 再谈反演及其应用

　　　　　　1. 角的不变性 圆族

　　　　　　2. 在阿波罗尼斯问题上的应用

　　　　　　*3. 重复反射

第4章 射影几何 公理体系 非欧几里得几何

　　$1 引言

　　　　1. 几何性质的分类 变换下的不变性

　　　　2. 射影变换

　　$2 基本概念

　　　　1. 射影变换群

　　　　2. 笛沙格定理

　　$3 交比

　　　　1. 定义和不变性的证明

　　　　2. 在完全四边形上的应用

　　$4 平行性和无穷远

　　　　1. 作为"理想点"的无穷远点

　　　　2. 理想元素和射影

　　　　3. 含有无穷远元素的交比

　　$5 应用

　　　　1. 初步说明

　　　　2. 平面上笛沙格定理的证明

　　　　3. 帕斯卡定理

　　　　4. 布利安桑定理

　　　　5. 对偶性简介

　　$6 解析表示

　　　　1. 初步说明

　　　　*2. 齐次坐标 对偶性的代数基础

　　$7 只用直尺的作图问题

　　$8 二次曲线和二次曲面

　　　　1. 二次曲线的初等度量几何

　　　　2. 二次曲线的射影性质

　　　　3. 二次曲线看作线曲线

　　　　4. 关于二次曲线的帕斯卡和布利安桑的一般定理

　　　　5. 双曲面

　　$9 公里体系和非欧几何

　　　　1. 公理方法

　　　　2. 双曲非欧几里得几何

　　　　3. 几何与现实

　　　　4. 庞加莱的模型

　　　　5. 椭圆几何和黎曼几何

　　附录 *高维空间中的几何学

　　　　1. 引言

　　　　2. 解析的方法

　　　　*3. 几何的方法或组合的方法

第5章 拓扑学

　　引言

　　$1 多面体的欧拉公式

　　$2 图形的拓扑性质

　　　　1. 拓扑性质

　　　　2. 连通性

　　$3 拓扑定理的其他例子

　　　　1. 若当曲线定理

　　　　2. 四色问题

　　　　*3. 维的概念

　　　　*4. 不动点定理

　　　　5. 纽结

　　$4 曲面的拓扑分类

　　　　1. 曲面的亏格

　　　　*2. 曲面的欧拉示性数

　　　　3. 单侧曲面

　　附录

　　　　*1. 五色定理

　　　　2. 多边形的若当曲线定理

　　　　**3. 代数基本定理

第6章 函数和极限

　　引言

　　$1 变量和函数

　　　　1. 定义和例子

　　　　2. 角的弧度制

　　　　3. 函数的图像 反函数

　　　　4. 复合函数

　　　　5. 连续性

　　　　*6. 多元函数

　　　　*7. 函数和变换

　　$2 极限

　　　　1. 序列an的极限

　　　　2. 单调序列

　　　　3. 欧拉数e

　　　　4. 数π

　　　　*5. 连分数

　　$3 连续趋近的极限

　　　　1. 引言 一般定义

　　　　2. 极限概念的评述

　　　　3. sinx/x的极限

　　　　4. 当x->∞时的极限

　　$4 连续性的精确定义

　　$5 有关连续函数的两个基本定义

　　　　1. 布尔查诺定理

　　　　*2. 布尔查诺定理的证明

　　　　3. 维尔斯特拉斯极值定理

　　　　*4. 有关序列的一个定理 紧致集

　　$6 布尔查诺定理的一些应用

第6章补充 极限和连续的一些例题

　　$1 极限的例题

　　　　1. 一般说明

　　　　2. qn的极限

　　　　3. n√p的极限

　　　　4. 不连续函数当作连续函数的极限

　　　　*5. 极限的叠代求法

　　$2 连续性的例题

第7章 极大与极小

　　引言

　　$1 初等几何中的问题

　　　　1. 两边给定求面积极大的三角形

　　　　2. 赫伦定理光线的极值性质

　　　　3. 三角形问题上的应用

　　　　4. 椭圆和双曲线的切线性质 相应的极值性质

　　　　*5. 到给定曲线的距离的极值

　　$2 基本极值问题的一般原则

　　　　1. 原则

　　　　2. 例题

　　$3 驻点与微分学

　　　　1. 极值和驻点

　　　　2. 多元函数的极大和极小 鞍点

　　　　3. 极小极大点和拓扑学

　　　　4. 点到曲面的距离

　　$4 施瓦茨的三角形问题

　　　　1. 施瓦茨的证明

　　　　2. 另一种证法

　　　　3. 钝角三角形

　　　　4. 由光线形成的三角形

　　　　*5. 有关反射和遍历运动的说明

　　$5 施泰纳问题

　　　　1. 问题及解答

　　　　2. 两种不同情况的分析

　　　　3. 一个补充问题

　　　　4. 说明与习题

　　　　5. 推广到道路网问题

　　$6 极值与不等式

　　　　1. 两个正量的算术平均和几何平均

　　　　2. 推广到n个变量

　　　　3. 最小二乘法

　　$7 极值的存在性 狄里赫莱原理

　　　　1. 一般说明

　　　　2. 例题

　　　　3. 初等极值问题

　　　　4. 比较复杂情形中所存在的困难

　　$8 等周问题

　　*$9 带有边界条件的极值问题 施泰纳问题和等周问题之间的联系

　　$10 变分法

　　　　1. 引言

　　　　2. 变分法 费马光学原理

　　　　3. 贝努利对捷线问题的处理

　　　　4. 球面上的测地线与极大-极小

　　$11 极小问题的实现解法 肥皂膜实验

　　　　1. 引言

　　　　2. 肥皂膜实验

　　　　3. 普拉图问题的几种新实验

　　　　4. 其他数学问题的实验解法

第8章 微积分

　　引言

　　$1 积分

　　　　1. 面积看作是一个极限

　　　　2. 积分

　　　　3. 积分概念的一般说明 一般定义

　　　　4. 积分举例xr的积分

　　　　5. "积分运算"的法则

　　$2 导数

　　　　1. 把导数看作是斜率

　　　　2. 导数看作是--极限

　　　　3. 例题

　　　　4. 三角函数的导数

　　　　*5. 可微性和连续性

　　　　6. 导数和速度 二阶导数和加速度

　　　　7. 二阶导数的几何意义

　　　　8. 极大与极小

　　$3 微分法

　　$4 莱布尼茨的记号和"无穷小"

　　$5 微积分基本定理

　　　　1. 基本定理

　　　　2. 初步应用 xr,cosx,sinx,arctanx的积分

　　　　3. 表示π的莱布尼茨公式

　　$6 指数函数和对数函数

　　　　1. 对数的定义和性质 欧拉数e

　　　　2. 指数函数

　　　　3. ex,ax,xs的微分公式

　　　　4. 用极限表示e,ex和lnx的表达式

　　　　5. 对数的无穷级数展开式 数值计算

　　$7 微分方程

　　　　1. 定义

　　　　2. 指数函数的微分方程 放射性元素的蜕变 增长率 复利

　　　　3. 其他例题 简谐振动

　　　　4. 牛顿动力学定律

第8章补充

　　$1 原理方面的内容

　　　　1. 可微性

　　　　2. 积分

　　　　3. 积分概念的另一些应用 功 弧长

　　$2 数量级

　　　　1. 指数函数和x的幂

　　　　2. ln(n!)的数量级

　　$3 无穷级数和无穷乘积

　　　　1. 函数的无穷级数

　　　　2. 欧拉公式 cosx + isinx = eix

　　　　3. 调和级数和Zeta函数 正弦的欧拉乘积

　　**$4 用统计方法得到素数定理

第9章 最新进展

　　$1 产生素数的公式

　　$2 哥德巴赫猜想和孪生素数

　　$3 费马大定理

　　$4 连续统假设

　　$5 集合论中的符号

　　$6 四色定理

　　$7 豪斯道夫维数和分形

　　$8 纽结

　　$9 力学中的一个问题

　　$10 施泰纳问题

　　$11 肥皂膜和最小曲面

　　$12 非标准分析