帕斯卡三角形有哪些美妙的规律呢

帕斯卡三角形即杨辉三角，二项式系数在三角形中的一种几何排列。帕斯卡三角形除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和，形似三角形，在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名，书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算书》，故又名贾宪三角形。

美丽的三角是帕斯卡三角。

数学史上总是充满着各种各样惊人的巧合，关于牛顿和莱布尼茨到底谁先发明了微积分；商高和希伯索斯分别先后发现了勾股定理。今天要讲的这个巧合，诞生于浙江杭州（古之为钱塘），美丽的西子湖畔，也是笔者的故乡。

故事中的数学家叫做杨辉，是南宋时期的数学家。他是个高产的学者，著有数学书共五种二十一卷。在《详解九章算术》中，杨辉详细解释了我们故事的主角——杨辉三角。三百多年后，法国神童帕斯卡发现了同样的三角，所以这个美丽的三角，也叫帕斯卡三角。

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杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就。

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。

杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。

每行由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n行第r元素是 nCr.每列由左而右各数,分别命名为第0元素,第1元素,....,如此第n列第n元素是 nCr.

nCr =nCr=

n!n!

--------

r!(n-r)!r!(n-r)!

例如:第4列第1元素(n=4,r=1)是

4!

--------

1!(4-1)!

= 1*3*2*1=6

5!=5×4×3×2×1=120. 8!=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

第n 列元素合是2n.

20= 120=1

21= 1+1 = 221=1+1=2

22= 1+2+1 = 422=1+2+1=4

23= 1+3+3+1 = 823=1+3+3+1=8

24= 1+4+6+4+1 = 1624=1+4+6+4+1=16

如果有一列的第一元素是质数,除了前后元素之外,多可以被此质数除尽。 例如, 第7列row7(1 7 21 35 35 21 7 1) 7, 21, and 35 多可被 7整除.例如, 第7列row7(1 7 21 35 35 21 7 1)7,21,and35多可被7整除. 从某列的前(后)元素(1)开始向下朝帕斯卡三角形内,任划一对角线(长度自订),则对角线所经过各数相加之和恰等于对角线最后一个数下方的数(位于下一列,但不在对角线上)。

如:

1+6+21+56 = 841+6+21+56=84

1+7+28+84+210+462+924 = 17161+7+28+84+210+462+924=1716

1+12 = 131+12=13

如果将每列的元素,由左而右,当作一个多位数整数,此数恰等于11的n次方(n是列数),如下表:

列数 指数式 = 计算值 列展开式

第0列 11^0 = 1 1

第1列 11^1 = 11 1 1

第2列 11^2 = 121 1 2 1

第3列 11^3 = 1331 1 3 3 1

第4列 11^4 = 14641 1 4 6 4 1

第5列 11^5 = 161051 1 5 10 10 5 1

第6列 11^6 = 1771561 1 6 15 20 15 6 1

第7列 11^7 = 19487171 1 7 21 35 35 21 7 1

第8列 11^8 = 214358881 1 8 28 56 70 56 28 8 1

其英文解释为：Pascal's triangle

这里还要介绍一下，帕斯卡三角形也叫贾宪三角形。