反三角函数的公式怎么得来的

三角函数的反函数不是单值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数，而不是

。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。

反正弦函数

x=sin y在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

反余弦函数

绿的为y=arccos(x) 红的为y=arcsin(x)

x=cos y在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。记作arccosx，表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0，π]区间内。定义域[-1，1] ， 值域[0，π]。

反正切函数

x=tan y在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。定义域R，值域（-π/2，π/2）。

反余切函数

x=cot y在（0，π）上的反函数，叫做反余切函数。记作arccotx

绿的为y=arccot(x) 红的为y=arctan(x)

，表示一个余切值为x的角，该角的范围在（0，π）区间内。定义域R，值域（0，π）。

反正割函数

x=sec y在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

反余割函数

x=csc y在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。定义域（-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

[编辑本段]数学术语 反三角函数并不能狭义的理解为三角函数的反函数，是个多值函数。它是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x)
（1）正弦函数y=sin x在[-π/2,π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。arcsin x表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2,π/2]区间内。
（2）余弦函数y=cos x在[0,π]上的反函数，叫做反余弦函数。arccos x表示一个余弦值为x的角，该角的范围在[0,π]区间内。
（3）正切函数y=tan x在(-π/2,π/2)上的反函数，叫做反正切函数。arctan x表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2,π/2)区间内。
反三角函数主要是三个：
y＝arcsin(x)，定义域[-1,1] ，值域[-π/2,π/2]图象用红色线条；
y=arccos(x)，定义域[-1,1] ， 值域[0,π]，图象用兰色线条；
y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；
sin(arcsin x)=x,定义域[-1,1],值域 [-1,1] arcsin(-x)=-arcsinx
证明方法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得
cos(arccos x)=x, arccos(-x)=π-arccos x
tan(arctan x)=x, arctan(-x)=-arctanx
反三角函数其他公式
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π－arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π－arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)
当x∈〔—π/2，π/2〕时，有arcsin(sinx)=x
当x∈〔0,π〕,arccos(cosx)=x
x∈(—π/2，π/2),arctan(tanx)=x
x∈(0，π),arccot(cotx)=x
x〉0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)∈(—π/2，π/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

三角函数的反函数如下：
反三角函数是一种基本初等函数，它是反正弦、反余弦、反正切、反余切、反正割、反余割这些函数的统称。各自表示其正弦，余弦、正切、余切、正割，余割为x的角。三角函数的三角函数是个多值函数，因为它不满足一个自变量对应一个函数的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称，欧拉提出反三角函数的概念，并且首先是用了“arc+函数名”的形式来表示反三角函数。

tan(1/2)等于0463648(弧度)或265651(角)度，求算方法如下:

(一) arctan表示反三角函数，令y=arctan(1/2)，则有tany=1/2。

(二) 作两直角边长度分别为2和1的直角三角形ABC，如下图所示:

(三) 图中，BC=2，AC=1，AB为斜边，tan∠B=AC/BC=1/2。显然，y的值即直角三角形ABC中角B的大小，查反三角函数表如下:

(四) 于是可得: y=∠B=0463648(弧度)=265651(角)度。

扩展资料：

至此，三角函数值多为弦值，直到中亚细亚天文学家阿尔·巴坦尼通过将一根杆直立在地上/墙上通过阴影测量太阳仰角的时候，得出了余切值与正切值。杆立在地上时，阳光在地上投射的影子长度即余切值；杆水平插在墙上时，阳光投射杆在墙面上的影子长度即正切值。

后来，14世纪英国三角学者布拉瓦丁正式将切值引入到了三角计算中去。直到天文学家哥白尼的学生利提克斯认为当时天文观测的精度需要越来越高，对精确三角函数值的计算也越来越迫切，便开始着手于包括正弦、正切和正割的三角函数表的制作。一直到1956年由他的学生完成并公诸于世。

现在，随着计算机的出现，三角函数值的计算也愈加精密、愈加方便，三角函数表便慢慢消失在我们的视野中了。

参考资料来源：新华网-三角函数表的来历

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