求二阶混合偏导数怎样求

郭敦荣回答：
二元函数z=f（x，y）的二阶偏导数共有四种情况：
（1）∂z²/∂x²=[∂（∂z/∂x）]/ ∂x；
（2）∂z²/∂y ²=[∂（∂z/∂y）]/ ∂y；
（3）∂z²/（∂y ∂x） =[∂（∂z/∂y）]/ ∂x，；
（4）∂z²/（∂x∂y） =[∂（∂z/∂x）]/ ∂y
其中，∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y）称为函数对x，y的二阶混合偏导数，其求法上面已给出了基本公式，下面举例说明，
设二元函数z=sin（x/y），求∂z²/（∂y∂x），∂z²/（∂x∂y），
解∵∂z/∂x=（1/y）cos（x/y），∂z/∂y=（－x/y²）cos（x/y），
∴∂z²/（∂y∂x） =[∂（∂z/∂y）]/ ∂x=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。
∂z²/（∂x∂y） =[∂（∂z/∂x）]/ ∂y=（－1/y²）cos（x/y）+（x/y^3）sin（x/y）。

求隐函数的二阶偏导分两部
（1）在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导，然后再解出Z关于X的一阶偏导。
（2）在在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导，也含有二阶偏导。最后把（1）中解得的一阶偏导代入其中，就能得出只含有二阶偏导的方程。解出即可。

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如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。而函数就是指：在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)即显函数来表示。F(x,y)=0即隐函数是相对于显函数来说的。

求导法则

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y' 的一个方程，然后化简得到 y' 的表达式。

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法：

方法①：先把隐函数转化成显函数，再利用显函数求导的方法求导；

方法②：隐函数左右两边对x求导（但要注意把y看作x的函数）；

方法③：利用一阶微分形式不变的性质分别对x和y求导，再通过移项求得的值；

方法④：把n元隐函数看作(n+1)元函数，通过多元函数的偏导数的商求得n元隐函数的导数。

举个例子，若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

1、
∂z/∂x=4x^3 -8xy^2
∂z/∂y=4y^3-8x^2y
所以
二阶偏导数为
∂z^2/∂x^2=12x^2-8y^2
∂z^2/∂x∂y= -16xy
∂z^2/∂y^2=12y^2 -8x^2
3、
∂z/∂x=cos(xy) y
∂z/∂y=cos(xy) x
所以
二阶偏导数为
∂z^2/∂x^2= -[sin(xy)]^2 y^2
∂z^2/∂x∂y= -[sin(xy)]^2 xy
∂z^2/∂y^2= -[sin(xy)]^2 x^2

求隐函数的二阶偏导数可以分为两步：

在方程两边先对X求一阶偏导得出Z关于X的一阶偏导，然后再解出Z关于X的一阶偏导。

在原来求过一阶偏导的方程两边对X再求一次偏导。此方程当中一定既含有X的一阶偏导，也含有二阶偏导。

最后把第一步骤中解得的一阶偏导代入其中，就能得出只含有二阶偏导的方程，即可解出。

如：设方程e的z次方-xyz=0确定函数z=(fx,y) 求z对x的二阶偏导数

e^z - xyz = 0

e^z(∂z/∂x) = yz + xy(∂z/∂x）

令z' = ∂z/∂x = yz/(e^z - xy) = yz/(xyz - xy) = z/(xz-x) = [z/(z-1)](1/x)
∂²z/∂x²

= dz'/dx

= (1/x)[z'(z-1)-zz']/(z-1)² - (1/x²)[z/(z-1)]

= -z'/[x(z-1)²] - z/[(z-1)x²]
将z'代入就有

∂²z/∂x² = -z/[x²(z-1)³] - z/[(z-1)x²] = -(z/x²)[1/(z-1)³ + 1/(z-1)]

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隐函数定义：如果方程f(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。

隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，如x^2+y^2=1。因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量x按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x)”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。

总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。

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