什么叫凹函数，如何判断是凹函数？

二阶导数大于零是凹函数，二阶导数为函数图像的拐点，二阶导数大于0,f'(x)'>0 此时,函数图像的切线斜率也为增函数, 所以,原函数的图像就是凹的。

函数与一阶导区域范围连续可导，一阶导等于0 ，有极值和平行的两种可能性，二阶导大于0，为极小值。

常用导数公式：

1、y=c(c为常数) y'=0

2、y=x^n y'=nx^(n-1)

3、y=a^x y'=a^xlna，y=e^x y'=e^x

4、y=logax y'=logae/x，y=lnx y'=1/x

5、y=sinx y'=cosx

6、y=cosx y'=-sinx

7、y=tanx y'=1/cos^2x

8、y=cotx y'=-1/sin^2x

9、y=arcsinx y'=1/√1-x^2

1、对于连续函数f(x)，若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2，当x1<x2时，有不等式

f(q1x1+q2x2)≥q1f(x1)+q2f(x2)，其中q1、q2为正数，q1+q2=1恒成立。凹函数图像如下。

2、对于连续函数f(x)，若f(x)为凹函数，那么区间中的任何两点x1、x2，当x1<x2时，有不等式

f(q1x1+q2x2)≤q1f(x1)+q2f(x2)，其中q1、q2为正数，q1+q2=1恒成立。凸函数图像如下。

扩展资料：

1、凸函数性质

一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。

一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x）。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。

2、凹函数性质

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数。

-凹函数

-凸函数

1、已知函数表达式，但不容易做出图形是可以利用其二阶导数符号来判定函数的凹凸性

y''>0是凹函数

y''<0是凸函数

2、如果可以从函数的表达式入手做出其草图，也可从图形中判断其凹凸性，开口向下为凸，开口向上为凹。

3、利用曲线与曲线上切线位置关系也可判断函数的凹凸性：切线总是位于曲线上方，则曲线为凸；切线总位于曲线下方，则曲线为凹

若函数y=f(x)在c点可导，且在点c一侧是凸，另一侧是凹，则称c是函数y=f(x)的拐点。

我们可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：

（1）求f''(x)；

（2）令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；

（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x0，检查f''(x)在x0左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点（x0,f(x0)）是拐点，当两侧的符号相同时，点（x0,f(x0)）不是拐点。

扩展资料

必要条件，设函数f（x）在点

的某领域内具有二阶连续导数，若（

，f（

））是曲线的拐点，则

,但反之不成立。

第一充分条件

直接根据拐点的定义，可以得到曲线存在拐点的第一充分条件。

设函数f（x）在点

的某邻域内具有二阶连续导数，若

的两侧

异号，则（

，f（

））是曲线y=f(x)的一个拐点；若

的两侧

同号，则（

，f（

））不是曲线的拐点。

以下是关于自由极值凹性和凸性的讨论

无论海塞行列式主子式如何表述，总是与稳定点是峰顶还是谷底这一问题有关。即它们总是与一条曲线、一个曲面或者一个超曲面在稳定点附近如何弯曲有关。

在单选择变量的情况下，即z=f(x)，峰顶或者谷底的图形是以一条倒U形或 U形曲线表示。对于二元函数z=f(x,y)，其峰顶（谷底）的形状是以山丘形（碗形）表面来表示。在更多元层面，需要发挥想象在超平面中想象出“峰顶”或“谷底”。

一个在整个定义域中给出峰形（谷底）的函数被称作凹（凸）函数。

在 非严格 的情况下，允许峰形或谷底包含一个或多个平坦的部分，比如线段或平面。在 严格 的情况下，就剔除了线段或平面的存在的可能性。如下图，分别代表了严格凹函数和严格凸函数。

凹函数的极值必然是极大值——峰顶。而且此极大值必然是绝对极大值，因为峰形覆盖了整个定义域。但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含了一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。 仅当我们限定为严格凹性时，才可以排除后一种的可能性。此时峰值才包括一个单一的点，绝对极大值才是唯一的。唯一的绝对极大值也称作强绝对极大值。

（一）线性函数

若 f(x) 是一个线性函数，则此函数既可以是凹函数，也可以是凸函数，但不是严格凹或凸函数。

（二）函数的正负性与凹凸性

若 f(x)为凹函数，则 -f(x)为凸函数 ，反 之亦然 ; 类似地 ，若 f(x) 为严格凹函数，则 -f(x)为严格凸函数，反之亦然。

（三）函数的和

若 f(x) 与 g(x) 均为凹(凸)函数，则f(x) + g(x) 也为凹(凸)函数;若 f(x) 和 g(x) 均为凹(凸)函数，且其中至少有一个为严格凹(严格凸)函数，则 f(x) + g(x) 为严格凹(严格凸)函数 。

参考资料

《数理经济学的基本方法》第四版

楼上的说的那是多次不是多元。

多元是不讲凹凸性的，楼主是要求多元函数的驻点是吗？是求各个变量的一阶偏导数，是他们都等于零来算出驻点的，然后再求得对X的二阶偏导记为A、对Y的二阶偏导记为C以及对X,Y的偏导记为B，AC-（B平方）若大于零则有极值