配方法

配方法 初中数学的配方法是什么？有哪些具体的用法？

配方法是什么呢？配方法是指将一个代数式的通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法，这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

配方法是以完全平方公式为基础的：在配方法中经常利用完全平方式的非负性来进行题目的分析和解答。

配方法解题的关键是找到或拼出两个完全平方项，一个中间项，中间项是两个完全平方项底数乘积的2倍，要注意完全平方式的特征及各项的关系。

在初中数学中，配方法在解一元二次方程、求最值、判断非负性、化简求值、大小比较、证明等题目中都有运用，为了学好初中数学，配方法必须要掌握好。

配方法在解一元二次方程中的应用一元二次方程的解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等多种方法，其中直接开平方法是最基础的。

配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．在运用配方法解一元二次方程的步骤如下：虽然配方法在解一元二次方程中运用的不多，但一元二次方程的公式法就是由配方法得到的，是公式法的基础，这种配方的思路在代数式中有很多的用处。

下面就配方法解方程举一个简单的例子。

配方法解方程的关键在配方的过程，这也是配方法的关键和核心所在。

利用配方法求最值、比较大小、证明利用配方法求最值也是初中数学中常见的一种题目，它运用的完全平方式的非负性，在具体的运用中需要注意。

求代数式的最大值、最小值。

将一个二次三项式通过配方转化为完全平方式在加上某个常数，如果二次项系数为正，则这个二次三项式具有最小值，最小值就是这个常数；如果二次项系数为负，则这个二次三项式具有最大值， 最大值就是这个常数。

比较大小通过作差比较两个代数式的大小，先相减，将差式配为完全平方式，再利用完全平方式的非负性进行比较。

证明：通过对代数式进行配方，然后利用完全平方式的非负性进行证明。

通过配方配成完全平方式，在利用完全平方式的非负性求字母参数的值或进行证明。

我们知道完全平方式具有非负性，几个非负式之和为0，则需要满足每个非负式都为0，得到关于字母参数的方程，解方程即可。

先来看一道简单的求值题：再来看一道证明题：这种题目比较多，方法类似，就是根据观察代数式的特征，通过配方，将等式的左边化为一个或几个完全平方式之和的形式，右边为0，然后利用非负式的性质进行运算即可。

配方法还有很多的用处，在这只是做一抛砖引玉的回答，所有题目的关键和核心都是相同的，通过配方转化为完全平方式子，再利用平方式的非负性去解答。

配方法就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。

配方法是初中代数中重要的变形技巧，是初中数学思想方法中的一种重要解题方法，它在初中数学中应用非常广泛，在数学解题中善于利用数学思想方法是解题成功的一个重要策略。

配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。

配方法依据配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解.例1．（2019秋•襄汾县期末）先阅读下面的内容，再解答问题．【阅读】例题：求多项式m²+2mn+2n²﹣6n+13的最小值．解：m²+2mn+2n²﹣6n+13＝（m²+2mn+n²）+（n²﹣6n+9）+4＝（m+n）²+（n﹣3）²+4，∵（m+n）²≥0，（n﹣3）²≥0，∴（m+n）²+（n﹣3）²+4≥4∴多项式m²+2mn+2n²﹣6n+13的最小值是4．【解答问题】（1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是 ；（2）已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a²+b²＝10a+8b﹣41，求第三边c的取值范围；（3）求多项式﹣2x²+4xy﹣3y²﹣6y+7的最大值．【分析】（1）可直接利用根据完全平方公式解答；（2）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据三角形的三边关系计算，得到答案；（3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可．【解答】：（1）例题解答过程中因式分解运用的公式是完全平方公式，故答案为：完全平方公式；（2）a²+b²＝10a+8b﹣41，a²﹣10a+25+b²﹣8b+16＝0，（a﹣5）²+（b﹣4）²＝0．∵（a﹣5）²≥0，（b﹣4）²≥0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，∴a＝5，b＝4，∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9；（3）原式＝﹣2x²+4xy﹣2y²﹣y²﹣6y﹣9+16＝﹣2（x﹣y）²﹣（y+3）²+16，∵﹣2（x﹣y）²≤0，﹣（y+3）²≤0，∴多项式﹣2x²+4xy﹣3y²﹣6y+7的最大值是16．配方法的应用类型1.解一元二次方程例2．（2019秋•宽城区期末）解方程：x²﹣5x+2＝0（配方法）【分析】把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣5的一半的平方．【解答】：把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得x²﹣5x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得【方法点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．类型2.求代数式的值例3．（2019春•西湖区校级月考）阅读材料：若m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m²﹣2mn+2n²﹣8n+16＝0，∴（m²﹣2mn+n²）+（n²﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）²+（n﹣4）²＝0，∴（m﹣n）²＝0，（n﹣4）²＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，回答下面的问题：（1）a²+b²﹣4a+4＝0，则a＝ ，b＝ ．（2）已知x²+2y²﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．（3）已知x²+2xy﹣3y²＝﹣1，2x²+6xy+10y²﹣2xy＝2，求x+y的值．【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质求得x、y的值，即可求得所求式子的值；（3）将题目中的式子变形，得出（x+y）2的值，从而可以求得x+y的值．【解答】：（1）a²+b²﹣4a+4＝a²﹣4a+4+b²＝（a﹣2）²+b²＝0，∴a＝2，b＝0，故答案为：a＝2，b＝0；（2）x²+2y²﹣2xy+6y+9＝x²+y²﹣2xy+y²+6y+9＝（x﹣y）²+（y+3）²＝0，∴x＝y＝﹣3，∴xy＝（﹣3）×（-3）＝9；（3）∵x²+2xy﹣3y²＝﹣1，2x²+6xy+10y²﹣2xy＝2，∴（x+y）²＝4y²﹣1，（x+y）²＝1﹣4y²∴4y²﹣1＝1﹣4y²，解得，y²＝1/4将y²＝1/代入（x+y）²＝4×1/4﹣1＝0，所以x+y的值是0．【方法点评】求值问题中，我们经常会遇到两个以上的平方项，这时候就应该联想我们学习过的完全平方公式。

本题考查的是配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键。

类型3.分解因式例4．（2019秋•黄浦区校级期中）对于形如x²+2ax+a²这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）²的形式．但对于二次三项式x²+2ax﹣3a²2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x²+2ax﹣3a²中先加上一项a²，使它与x²+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a²，整个式子的值不变，于是有：x²+2ax﹣3a²＝x²+2ax+a²﹣a²﹣3a²＝（x+a）²﹣4a²＝（x+a）²﹣（2a）²＝（x+3a）（x﹣a）像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”进行因式分解：（1）x²﹣8x+15（2）a4+a²b²+b4【分析】（1）要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式；（2）要运用配方法，只要二次项系数为1，只需加上一次项系数一半的平方即可配成完全平方公式．【解答】：（1）x²﹣8x+15＝x²﹣8x+16﹣16+15＝（x﹣4）²﹣1＝（x﹣3）（x﹣5）；（2）a4+a²b²+b4＝a4+a²b²+b4+a²b²﹣a²b²＝（a²+b²）²﹣a²b²＝（a²+b²+ab）（a²+b²﹣ab）．【方法点评】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用完全平方公式．类型4.判定方程根的情况例5．（2019秋•惠城区期末）若关于x的一元二次方程（1﹣m）x2﹣4x+1＝0方有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）若m为小于10的整数，且该方程的根都是有理数，求m的值．【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据条件可求出m的取值，然后根据△为平方数即可求出m的值．【解答】：（1）由题意可知：△＝12+4m＞0，∴m＞﹣3∵1﹣m≠0，∴m≠1，∴m的取值范围为：m＞3且m≠1．（2）∵m为小于10的整数，又m＞﹣3且m≠1．∴m可以取﹣2，﹣1，0，2，3，4，5，6，7，8，9，当m＝﹣2或6时，△＝4或36，为平方数，此时该方程的根都是有理数．类型5.求最值例6．（2019秋•山西期末）运城菖蒲酒产于山西垣曲．莒蒲洒远在汉代就已名噪酒坛，为历代帝王将相所喜爱，并被列为历代御膳香醪．菖蒲酒在市场的销售量会根据价格的变化而变化．菖蒲酒每瓶的成本价是35元，某超市将售价定为55元时，每天可以销售60瓶，若售价每降低2元，每天即可多销售10瓶（售价不能高于55元），若设每瓶降价x元．（1）用含x的代数式表示菖蒲酒每天的销售量．（2）每瓶菖蒲酒的售价定为多少元时每天获取的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）销量是在60瓶的基础上增加10x/2，据此列出即可；（2）设每瓶菖蒲酒的售价定为x元，每天的销售利润为y元，根据利润等于每瓶的利润乘以销售量，列式并配方，利用二次函数的性质，可得答案；【解答】：（1）莒蒲酒每天的销售量为60+10/2•x=60+5x．（2）设每天销售菖蒲酒获得的利润为y元由题意，得y＝（55﹣x﹣35）（60+5x）＝﹣5（x﹣4）²+1280．当x＝4时，利润有最大值，即售价定为51元时，有最大利润，最大利润为1280元．